Etude d'une équation hyperbolique

2.1.2 Solution de l'équation (Solution générale avec la méthode de D'Alembert)

Cas d'une corde infinie

On suppose la corde vibrante infinie et on assimile la position d'équilibre de celle-ci a la droite réelle 1 on se propose d'étudier l'équation avec les conditions initiales suivantes, supposées réalisées pour tout nombre réel x.

u(x,O) = f(x) (2.3)

et

a u(x_; 0) = g(x)

@t

Ces conditions signifient que la corde a été lachée avec vitesse initiale a partir d'une position définie par la donnée de la fonction f, que l'on suppose de classe C² sur 1 .

On va résoudre l'équation des ondes

@2 u(x_; t) - c2 82

8xxu(x, t) = 0 (2.4)

@tt

c'est a dire trouver les fonctions u(x, t), définies et de classe C² sur 1² qui vérifient cette égalité. En utilisant la méthodes des caractéristiques :

L'équation des caractéristique associée a (2.4) est :

cw² -- bw + a = 0

{

<=>
<=>
<=>

alors

dx

W = dt

w2 -- e2 = 0

{

dx

W = dt {W = #177;C

dx

W = dt

dx dt dx dt

= +c = --c

{ x -- ct = c1

(2.5)

x + ct = c2

Les deux équations (2.5) sont les deux familles de courbes caractéristiques.

On reprend la méthode du changement de coordonnées. Soit

f

a = x -- ct 0 = x+ct'

et

v : (a, 0) i! u(x,t).

On note que :

u(x, t) = v(x + ct, x -- ct).

82

U(X, t) -- C^{2 (92}

Ott Oxx U(X_' t) = 0 (2.6)

OtU = U_aat + UsOt = --CU_a + CUs

0

0

Otto = --c(--cu_aa + cu_as) + c(--cus_a + cuss) = C²U_aa -- 2c²U_as + C²Uss

a

(9X

u

=

U_a + Us

a

u = u_aa + u_as + us_a + uss = u_aa + 2u_as + uss

axx

Subtituant ces équations dans l'équation (2.4) on obtient :

(2.4) .<=> ouaa -- ₂0_uas + ouss -- ouaa -- 2c²uo -- c²uso = 0

4 --4c²u_as = 0

<=> u=0

u_a = F(a) , F : fonction arbitraire.

u = I F(a)da + (~)
u(a,0) = (I)(a) + (Q),

0,111 : deux fonctions arbitraires donc :

u = u(x, t) = 0(x -- ct) + (x + ct) (2.7)

(2.7) est dite formule D'Alembert

D'aprés la condition initiale

u(x, 0) = f(x),

on a

f(x) = 0(x) + (x),

0

d'aprés la condition initiale

at u(x_' 0) = g(x),

on a

@ at

u(x_' t) = -- &^'(x -- ct) + c ' (x + ct)

g(x) = --&^'(x) + c '(x)

<=>

f f(x) = 4)(x) + (x) g(x) = --c(^'(x) + c ^'(x)

<=>

f f(x) = 4)(x) + (x)

^1c g(x) = --0^'(x) + ' (x) (2.8)

On derive la première equation de (2.8) par rapport a x

<=>

f 1(x) = 0'(x) + ' (x)

1 ¹_cg(x) = --0'(x) + ^'(x)

<#. 1

'11^'(x) = 2 f^' (x) + ₂¹_cg(x)

(2.9)

1

0'(x) = 1 2.'(x) -- ₂¹_cg(x)

On integre (2.9) sur Q, pour trouver

W(X) = 2.f (X) + 2c fx^x0

{

x) =¹₂^- f(x)

, 21 0 fxx ₀g(x)dx + cl, x 2 R

(

g( (2.10)

x)dx + c₂, x E IR

La somme des deux equations dans (2.10), nous donne

f(x) = f(x) + ci + c2 4--> ci + c2 = 0

Alors :

x--ct x+ct

1 1 u(x, t) = 2f(x -- ct) 2c	I xo	1 1 g(x)dx + c2 + 2f(x + ct) + 2c			I xo	g(x)dx + Cl
1 1 u(x,t) = 2(f(x -- ct) + f(x + ct)) + 2c			I x_ot	g(x)dx. (2.11)

Donc la solution est

x+ct

Cas d'une corde finie

On suppose la corde vibrante finie de longueur L, et on assimile la position d'équilibre de celle-ci au segment [0, L]. On se propose ici d'étudier l'équation avec les conditions initiales suivantes, réalisées pour tout nombre réel x :

u(x,0) = f(x)
8u @t (x, 0) = 0

qui signifient que la corde a été lâchée sans vitesse initiale a partir d'une position définie par la donnée de la fonction f, que l'on suppose de classe C² sur [0, L] (ou même de classe C¹ et de classe C2 par morceaux);

Les conditions aux limites suivantes, réalisées pour tout nombre réel positif t :

u(0,t) = u(L,t) = 0

qui signifient que la corde est fixée a ses deux extrémités. Pour t = 0, on a donc :

f(0) = f(L) = 0. (2.12)

On étudie les problèmes d'existence et d'unicité de la solution u d'une telle e.d.p.