Memoire Online - Modélisation & Commande Vectorielle d'un Système Multi-Moteurs

Ce chapitre est consacré à la présentation et à la modélisation des Systèmes Multi-Moteurs (SMM). Le système de test est constitué de cinq moteurs. Le principe de fonctionnement de la maquette est décrit et notamment les problèmes de gestion que peut engendrer un tel système. Les travaux à effectuer seront mis en évidence. [33,35]

Dans l'industrie du textile ou du papier [33,34], les systèmes de bobinage sont très présents. Afin de modéliser le système multi-moteurs étudié, l'outil utilisé est une représentation appelée REM : Représentation Énergétique Macroscopique. Cet outil développé par le L2EP [27,32] permet d'analyser des systèmes plus ou moins complexes composés de plusieurs machines et/ou plusieurs convertisseurs dans des entraînements électriques et/ou mécaniques. Le contrôle de la vitesse des moteurs consiste à avoir une vitesse de rotation identique pour chaque moteur, ce qui permet de faire avancer la toile à une même vitesse.

La figure 2.1 présente un système d'entraînement constitué de cinq moteurs triphasés, chaque moteur à une alimentation et commande vectorielle indirect indépendante IFOC (en anglais) : Indirect Field Oriented Control; les moteurs sont couplés mécaniquement par une bande dont la tension est réglable par la commande des quatre derniers moteurs. Ce système est composé de deux parties différentes, la partie mécanique (Figure 2.1) et la partie électrique (Figure 2.3).

Dans la partie mécanique, le moteur M1 effectue le débobinage, M3 entraîne la toile par friction et M5 sert à effectuer le bobinage, les moteurs M2 et M4 entraînent chacun deux rouleaux par l'intermédiaire d'engrenages pour « pincer » la bande (Figure 2.2). M2 et M4 pourraient être remplacés par deux moteurs chacun, qui entraîneraient chacun un rouleau des étages de pinçage. Les éléments de contrôle de pression entre les rouleaux ne sont pas représentés, ni considérés dans l'étude. L'étage de pinçage peut permettre d'isoler deux zones et de créer une zone tampon. [33,34]

L'objectif de ces systèmes est de maintenir la vitesse de défilement constante et de contrôler la tension dans la bande.

Le banc d'essais est composé de cinq moteurs asynchrones triphasés; les entraînements sont connectés chacun à une alimentation triphasée et une IFOC (Figure 2.3). Les moteurs (M1, M2, M3, M4, M5) sont alimentés par des onduleurs afin de varier la vitesse. Le matériau entraîné est considéré comme une bande élastique. Les moteurs asynchrones utilisés sont puissants.

La modélisation du moteur asynchrone a été abordé en détail dans le chapitre 1.

Comme on a pu le constater, les divers traitements s'effectuent en phase de défilement. Il est donc impératif de disposer d'organes de déroulement et d'enroulement performants. Ces deux dispositifs, l'enrouleur et le dérouleur, sont symétriques (Figure 2.4). Après installation sur le moteur dérouleur d'un rouleau de matière (toile, papier), une bande de produit est sortie et part vers le reste du processus. Le rôle premier du dérouleur apparaît ici : l'injection de matière dans le système. Au cours du cycle de travail, la quantité de matière sur le rouleau diminue, sa masse et son rayon ne sont donc pas constants. De la même manière, l'enrouleur récupère le produit traité; au démarrage, le rouleau porteur est vide, il se remplit au fur et à mesure de l'avancement. Afin de garantir un enroulement de bonne qualité, la vitesse linéaire à l'arrivée sur l'enrouleur doit être constante, l'effort de tension imposé au matériau également. De même, si on veut assurer un bon traitement du produit, le dérouleur doit délivrer le produit à vitesse et tension constantes. Lorsque le dérouleur est vide, la chaîne doit s'arrêter, le temps de mettre un nouveau rouleau. Soit l la longueur axiale du roulement de papier. Les relations cinématiques importantes du roulement de papier peuvent être développées comme suit (Figure 2.4) [28,31,38,39].

Rayon R(t) et masse m : Considérons le profil du rouleau comme un disque initial de rayon R0 et une couronne de rayon intérieur

et extérieur R(t) (Figure 2.4).

	(2.1)
	(2.2)
	(2.3)
	(2.4)
	(2.5)

Inertie de masse

: De la même manière, on peut détailler l'inertie

. Rappelons que l'inertie d'un cylindre creux dépend de ses rayons interne et externe, de sa masse volumique

et de sa hauteur, ici la largeur de la bobine est

L'inertie d'un rouleau dérouleur ou enrouleur est la somme de son inertie à vide

(c'est celle de l'arbre moteur) et de l'inertie variable, fonction du rayon R(t).

Symbole	Signification	Unité
	Masse de noyau.	kg
m	Masse totale du rouleau de papier.	kg
	Rayon du noyau .	m
R	Rayon variable de roulement de papier.	m
V	Vitesse de défilement du papier.	m/s
H	Épaisseur de la feuille de papier.	m
l	Longueur longitudinale du rouleau de papier.	m
	Densité de masse de la feuille de papier.
	Inertie à vide.
	Inertie de masse.	Nm

Les différents modèles pour la toile ou la bande dans les systèmes de transport de matériaux en feuilles sont basés sur trois lois [29,37,38].

· La loi de Hooke, qui modèle l'élasticité du lien entre les enchaînements;

· La loi du coulomb, qui donne la variation de tension mécanique due au frottement et à la force de contact entre la toile et le rouleau;

· Loi de conservation de masse, qui exprime l'interconnexion entre la vitesse de bande et sa contrainte.

La figure 2.6 montre un système d'enchaînement entre deux rouleaux avec le repère (X, Y, Z) [30].

Pour être plus proche de la réalité, le modèle mathématique de la bande est développé en utilisant les hypothèses [30,34,39] suivantes :

· la longueur de la région de contact (a+g) entre le matériau et le rouleau est très petite par rapport à celle du matériau au niveau de deux rouleaux, (L) ce qui permet de définir un volume contrôlé V (volume des matériau dans la région `g');

· la perte de masse entre le matériau et l'environnement est supposée négligeable;

· le matériau est isotropique mais c'est la contrainte le long de l'axe x qui prévaut : _x 0,

· la section et la densité du matériau ne varient pas au cours du temps et sur la longueur du matériau.

· il n'y a pas de glissement entre le matériau et les rouleaux, la vitesse de défilement du matériau est donc égale à la vitesse linéaire du rouleau.

La tension d'enchaînement entre deux rouleaux peut être calculée selon ces trois lois.

La Loi de Hooke : La tension T d'un enchaînement élastique est fonction de la contrainte d'enchaînement : [29,39]

Notez que le rapport entre la contrainte et la tension est plus complexe pour les matériaux viscoélastiques. La loi de Hooke est valide pour la plupart des matériaux d'enchaînement, aussi longtemps que la tension n'est pas trop grande.

D'ailleurs, le module de Young est très sensible à la température et au niveau d'humidité. Sur la chaîne de production, l'enchaînement peut passer par différents processus (par exemple, dans un bain dissolvant, puis dans un dessiccateur). Par conséquent, ses propriétés d'élasticité peuvent considérablement changer pendant le processus.

La Loi du Coulomb : L'étude de la tension d'enchaînement sur un roulement peut être considérée comme un problème de frottement entre les solides. Sur le roulement, la tension d'enchaînement est constante sur une zone de collage qui est un arc de longueur a et change sur une zone coulissante qui est un arc de longueur g (Figure 2.6). Puis, la contrainte d'enchaînement entre le premier point de contact d'un roulement et le premier point de contact du roulement suivant est donné par les équations suivantes :

		si		(2.12)
		si		(2.13)
		si		(2.14)
				(2.15)

Symbole	Signification		Unité
T_i (i=1,4)	Tension dans le matériau entre chaque paire de rouleaux.		N
_i (i=1,4)	Contrainte imposée au matériau.		__
E	Module de Young de la bande.		N/m²
S	Section d'enchaînement.		m²
L₀	Longueur nominale d'enchaînement (sans effort).		m
L	Longueur d'enchaînement sous l'effort.		m
_i (i=1,4)	Densité volumique du matériau.		kg/m
V_i (i=1,5)	Vitesse linéaire du roulement i.		m/s

Tableau 2.2 : Définitions et notations pour l'étude de la toile.

Le changement de tension se produit sur la zone coulissante tandis que la vitesse d'enchaînement est égale à la vitesse de roulement sur la zone de collage. Peut également apparaître une zone coulissante à l'entrée de roulement si la tension change à un taux élevé.

Loi de Conservation de masse : Considérez une toile entre deux rouleaux de longueur

avec une densité de poids, sous un effort continu. Supposant que la section reste constante, puis, selon la loi de conservation de masse, la masse d'enchaînement reste constante entre l'état sans effort et l'état sous l'effort :

Tension d'enchaînement entre deux rouleaux consécutifs : l'équation de continuité appliquée au système de transport d'enchaînement donne :

Utilisons l'équation (2.17), que nous intégrons sur le volume V de commande défini par les premiers points de contact entre l'enchaînement et les roulements, voir la figure. 2.6.

Supposant que la section d'enchaînement est constante,

nous pouvons intégrer en ce qui concerne la variable

de zéro à

Cette relation diffère de celle présenté dans des études classiques sur des systèmes d'enroulement. La simplification du modèle classique est obtenue en employant l'approximation avant de différencier la limite gauche dans (2.21), ce qui donne l'équation suivante :

Nous pouvons voir que (2.23) donne une meilleure approximation que (2.24.a). Pour le développement des lois de commande, c'est le modèle (2.24.a) qui sera employé pour sa simplicité.

Supposant que l'enchaînement ne glisse pas sur le rouleau, la vitesse d'enchaînement est égale à la vitesse linéaire de roulement. L'équation dynamique de la vitesse

rouleau peut être obtenue par l'équation d'équilibre de couple : [33,35,36]

Où

sont les tensions dans le matériau entre chaque paire de rouleaux,

est le somme des couples de frottement. Nous pouvons noter d'après l'équation (2.25.a) que l'inertie

, le rayon

, sont liés au temps :

augmentent avec le temps pour l'enrouleur et diminuent avec le temps pour le dérouleur. Ils peuvent changer considérablement pendant l'opération de processus complet (environ 300% pour le rayon dans notre installation expérimentale et encore plus dans quelques systèmes industriels).

Le modèle complet de notre installation expérimentale peut être établi en utilisant (2.24.a) pour indiquer la tension mécanique dans chaque segment et (2.25.a) pour indiquer la vitesse de chaque roulement. La figure 2.7 montre les différentes variables dans le modèle de notre système expérimental. Les entrées sont les signaux de commande

(Tensions de commande) et les sorties sont la vitesse linéaire de défilement et les tensions d'enchaînement,

. Les signaux de commande sont le couple de référence des moteurs asynchrones. Traditionnellement, dans un arrangement décentralisé de commande, la vitesse d'enchaînement est commandée par le moteur de traction et la tension d'enchaînement est commandée par les moteurs de déroulement et d'enroulement. Les équations (2.24.a) et (2.25.a) peuvent être exprimées sous la forme d'équations d'état :

Symbole	Signification	Unité
(i=1,5)	Vitesse linéaire du roulement i.	m/s
(i=1,5)	Vitesse de rotation du roulement i.	rad/s
(i=1,5)	Rayon du rouleau i.	m
(i=1,5)	Moment d'inertie du rouleau i.
(i=1,5)	Coefficient de frottement visqueux du rouleau.	N.m.s/rad
(i=1,4)	Tension mécanique entre les rouleaux i et i+1.	N
(i=1,4)	Longueur d'enchaînement entre les rouleaux i et i+1.	m
	Somme des couples de frottement.	N.m
	Matrices diagonales des paramètres.	__

Les paramètres qui changent pendant le procédé d'enroulement sont exprimés comme fonction du temps.

La REM est basée sur le principe d'action et de réaction et à l'avantage d'offrir une représentation synthétique. De plus, elle permet aussi de mettre en évidence les interactions qui existent entre les différents composants d'un système ainsi que le flux énergétique mis en jeu entre les divers éléments constitutifs du système. Les informations contenues dans cette section sont adaptées du rapport [27,32,39].

La REM se compose de plusieurs blocs qui ont des formes et des couleurs normalisées [39], ce qui donne une meilleure lisibilité de la représentation d'un système (Figure 2.8) :

§ Les convertisseurs électriques, (des carrés orange) sans accumulation d'énergie;

§ Les convertisseurs électromécaniques, (des ronds orange) sans accumulation d'énergie;

§ Les convertisseurs mécaniques, (des triangles orange) sans accumulation d'énergie;

§ Les éléments accumulant de l'énergie, (des rectangles orange avec une barre oblique)..etc.

Pour une meilleure compréhension et une meilleure lisibilité, la REM est divisée en trois parties. La première prendra en compte la source d'alimentation triphasée, l'impédance de la ligne, Le pont redresseur et la batterie condensateur, la deuxième est la partie électrique du onduleur jusqu'à la machine asynchrone et la dernière est la partie mécanique qui représente le couplage entre les moteurs et la toile. La modélisation est identique pour les cinq moteurs.

La première partie (Figure 2.9), qui alimente les cinq moteurs, est constituée par quatre éléments qui sont : la source d'alimentation triphasée, l'impédance de ligne, le redresseur et la batterie condensateur. Cette partie est identique pour les cinq moteurs

La source d'alimentation électrique est de nature triphasée, on la représente par un élément de source électrique. Celle-ci nous donne une tension en sortie d'action et reçoit un courant de ligne en entrée de réaction. C'est le principe des actions/réactions. Les équations internes du bloc sont représentées par (2.27.a), (2.27.b) et (2.27.c).

U_a; U_b; U_c : les tensions simples d'une source de tension triphasée équilibrée.

L'impédance de ligne est représentée par un élément d'accumulation, la variable d'état étant « I _ligne». Cette ligne est constituée d'une résistance R _ligne et d'une bobine L _ligne en série pour chaque phase.

U_{entrée =}U_source: la tension d'entrée de la ligne (qui représente un vecteur).

Ce redresseur triphasé est constitué de six diodes. Il est représenté par un élément de conversion électrique. Ce pont ne peut pas être commandé. Il n'y a donc pas de degré de liberté et ainsi pas de possibilité de réglage.

Cette batterie placée entre le redresseur et les onduleurs de chaque moteur. On peut alors caractériser cette liaison par un élément d'accumulation avec un couplage électrique, la variable d'état étant la tension de sortie« U ».

Avec : C : condensateur du bus continu ; R_cond : résistance de fuite en parallèle avec le condensateur ; i _entrée = i red : courant d'entrée du condensateur; i_retour = I ond courant d'entrée de réaction.

Cette partie électrique est constitué par trois éléments qui sont : l'onduleur, le stator de la machine asynchrone (MAS) et la machine elle même (figure 2.14). Cette partie est identique pour les cinq moteurs. Pour l'action et réaction entre la première et la deuxième partie, la tension de sortie d'action étant la même pour les cinq onduleurs, on peut considérer comme une source électrique qui délivre une tension U, le courant I_ond étant le courant de retour de l'onduleur triphasé.

Le stator de la machine asynchrone peut être représenté par la mise en série d'une résistance et d'une bobine où le courant I_stator est commun. On représente alors cet élément par un élément d'accumulation avec comme variable d'état le courant I_stator, l'entrée de réaction étant la force électromotrice du moteur.

La MAS est représentée par un élément de conversion électromécanique. Elle permet d'obtenir un couple à partir d'un courant. La sortie de réaction : la force électromotrice est obtenue par l'entrée de réaction qui est la vitesse angulaire. Il faut savoir que pour les simulations, la machine est représentée par l'intermédiaire du modèle de Park et les équations de la machine asynchrone. On suppose ainsi que l'onduleur fournit une tension triphasée équilibrée.

La troisième partie est la partie mécanique (Figure 2.18) qui représente la modélisation des arbres des moteurs, les différentes toiles et le couplage mécanique. Ce couplage permet entre autre d'exprimer la vitesse linéaire d'un moteur par l'intermédiaire de sa vitesse angulaire et du rayon du rouleau. Les éléments de même nature ne seront étudiés qu'une seule fois car ils sont basés sur le même principe. L'exemple pris est celui de l'entraînement en forme générale.

L'arbre est caractérisé par son inertie. Les interactions qui peuvent exister entre cet arbre et sa charge sont aussi prises en compte. La vitesse est une variable d'état, cet élément est alors représenté par un élément d'accumulation.

Le couplage mécanique permet de réaliser une conversion; on exprime la vitesse linéaire du moteur par l'intermédiaire de sa vitesse angulaire en la multipliant par le rayon de l'arbre. Dans notre cas nous prenons le rayon du rouleau accouplé à l'arbre, on considère que la liaison entre les rouleaux et les arbres est parfaite. De même pour le couple résistant, on l'exprime à partir de la force qui est appliquée à la roue.

Le moteur M_K+1a une liaison avec les moteurs M_K et M_K+2par l'intermédiaire de la toile. Il y a donc un couplage de type mécanique. En effet, la sortie de réaction V_K+1est commune aux entraînements M_K et M_K+2(2.33). On s'aperçoit aussi que le couple résistant dépend de deux variables : T_K+1 et T_K+2 (2.34).

La toile est considérée comme un matériau élastique. Celle-ci est représentée par un élément d'accumulation avec comme variable d'état la tension. Celle-ci dépend de la vitesse des moteurs.

La tension d'entrée Te du premier moteur (bobineur) et la tension de sortie Ts du dernier moteur (débobibeur) ne sont pas prises en considération dans l'étude du modèle général de la toile (2.35).

On peut s'apercevoir qu'une fois le système modélisé, beaucoup de variables sont mises en jeu, et que la gestion d'un tel système ne soit pas simple. En effet, la présence de couplages et le partage de variables communes peuvent entraîner des perturbations. La modélisation de chaque élément de la maquette a été présentée dans le paragraphe {§2.2.3}, la modélisation complète du système est représentée dans la figure 2.23.

À travers ce chapitre une étude détaillée de la modélisation des systèmes multi-moteurs (SMM) et la structure du système ont été développées. Dans la partie de la modélisation du moteur asynchrone ses équations sont explorées en détail (Chapitre 1). Ces dernières sont obtenues pour les systèmes électrique et mécanique. Par la loi de Hook, les calculs de la tension d'enchaînement entre deux moteurs sont développés. Ces calculs permettent l'obtention des tensions mécaniques entre une série des moteurs d'entraînement. Finalement, l'utilisation de la modélisation obtenue dans ce chapitre, permet d'avoir un système matriciel sous la forme d'équations d'état. Ce dernier sera utilisé dans le chapitre III.

Afin de modéliser le système multi-moteur étudié, l'outil que nous avons utilisé est une représentation appelée Représentation Énergétique Macroscopique (REM). Cet outil, développé par le Laboratoire d'Électrotechnique et d'Électronique de Puissance de Lille (L2EP), permet d'analyser des systèmes complexes composés de plusieurs machines et plusieurs convertisseurs dans des entraînements électriques et mécaniques. La REM est basée sur le principe d'action et de réaction et à l'avantage d'offrir une représentation synthétique des systèmes énergétiques. Elle permet aussi de mettre en évidence les interactions qui existent entre les différents composants d'un système ainsi que le flux énergétique mis en jeu entre les divers éléments du système.

Modélisation & Commande Vectorielle d'un Système Multi-Moteurs

11 CHAPITRE 2 :

12 13 MODÉLISATION DU SYSTÈME

14 MULTI-MOTEUR (SMM)

15 ET

16 REPRÉSENTATION ÉNERGÉTIQUE MACROSCOPIQUE (REM)

Tableau 2.2 : Définitions et notations pour l'étude de la toile.