Troisième partie
Quelques options path dependent
CHAPITRE 1
LES OPTIONS LOOKBACK
Définition 8. Les options lookback donnent à leur
détenteurle droitde cchoisir comme prix d'exercice, le cours de l'actif
le plusfavorable sur la période considérée.
Il existe deux types d'options lookback
L'option lookback avec un prix d'exercice fixe qui pourun call a
unpayoff ééal à a différence positive entre le
maximum du cours et du prix d'exercice~xé
FIG. 1 - payoff du call lookback fixe
L'option lookback avec un prix d'exercice flottant qui pour un
call a un payoff ééal à a différence positive entre
le prix du sous jacent à ladated'exercice eteminimum duours. Le prix
d'exercice pour le call est alors min0<t<T St. Pour un put le
prix d'exercice est max0<t<TSt
1. Le call lookback fixe européen
Ces types d'options ont un intérêt pourl'acheteur
qui pense qu'il existera une forte variation des cours surla période,
mais enen iignorant complltementa date, ainsi quee parfait moment
d'investissement.Elles sont donc parfaitement adaptées aux optionsuroo
péennes puisque on ne peut pas connaitrele maxou emindu cours avanta
date d'exercice. Il faut noter que ces options sont toujours exercées
cequi rend eur prix beaucoup plus élevé qu'une option classique
européenne comme nous allons evoir
1 Le call lookback fixe européen
Le payoff de l'option lookback fixe est
CT= max (St)-KpourK<S0
0<t<T
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PT=K- min
0<t<T
|
(St) pour K ~ S0
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Exemple On veut connaitre le prix d'un call lookback
européen fixe. Pour calculer le payoff à la date T on choisira
toujours le cours maximun atteint parle sous jacent sur tous les chemins menant
à cette date moins le prix dexercice K. Par exemple si l'actif vaut
à la date T, ST = 79, 353 on prendra comme cours maximum Smax = 89,066.
Le payoff vaut alors : Smax - K = 89,066 - 50 = 39, 066. Une fois les payoffs
calculés on appliquela rétroduction. Nous obtenons l'arbre
suivant
FIG. 3 - arbre d'évaluation d'un call lookback à
prix d'exercice fixe
2 Le call lookback flottant européen
Le payoff de l'option lookback flottant qui est toujours
exercée est
CT = ST -- min (St)
0<t<T
PT= max (St)--ST 0<t<T
Exemple On veut connaitre le prix d'un call lookback
européen flottant àla date daujourd'hui. On utilise l'arbre
binomial, dans un premier temps commetoujours on calcule l'évolution du
sous jacent. Pour calculer le payoff àla date T on choisira toujours le
cours minimum atteint par le sous jacent sur tous les chemins menant à
cette date. Par exemple si l'actif vaut à la date T, ST = 79,353 on
prendra comme cours minimum Smin = 44, 547. Le payoff vaut alors ST - Smin =
79,353 - 44, 547 = 34,806 Une fois les payoffs calculés on applique la
rétroduction. Nous obtenons l'arbre suivant
FIG. 4 - arbre d'évaluation d'un call lookback à
prix d'exercice flottant
Conclusion On remarque que le prix du call loockback est
beaucoup plus élevé que pour un call européen classique
(de l'ordre de trois à quatrefoissupérieurdans nos cas) Mais un
problème reste, en effet à moins de pouvoir regarder à
tout instant le prix dusous jacent, on peut rater une valeur du cours et donc
il estimpossible de connaitre le maximum oule minimum du cours réel en
utilisant l'arbre binomial
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