Dynamique globale sur les espaces-temps de Robertson-Walker dans un milieu fluide parfait relativiste

EXISTENCE GLOBALE DES SOLUTIONS

DANS LE TEMPS DES EQUATIONS

(2.14) ET (2.15)

Dans ce chapitre, nous nous proposons d'étudier l'existence globale des solutions dans le futur des équations (2.14) et (2.15)

3.1 Cas de la radiation pure

Considérons l'équation (2.15) (ÿa)² = _a^b2 -- k avec b = 8ðB

3 = 0 et

k =6 0 et qui exige b -- ka² = 0 ( toujours réalisé si k = --1 et k = 0) Alors aÿ = #177; ,/b--ka2

a

aa

On a donc Vb -- dka2 = #177; dt

.

Intégrons cette dernière égalité :

Posons u = b -- ka² , alors du = --2akda Donc ada = --du . du = #177; dt

2k ' 2k ,/u

,/uk = #177;t + c

Intégrant, on obtient i.e vu = k(#177;t + c)

i.e u = k²(#177;t + c)²

On a donc b -- _ka2 = k2(#177;t + c) ²

c étant une constante arbitraire, prenons d = #177;c

On obtient :

ka² = b -- k²(t + d)² (3.1)

(2.14) et (2.15) 25

Discutons suivant les valeurs de k l'existence globale des solutions de (3.1)

· Si k = 1

Alors a² = b -- (t + d)²

a2 étant une quantité positive, on obtient b -- (t + d)² = 0 i.e 0 (t + d)² b D'où t est borné. et par suite l'équation (2.15) n'admet pas de solution globale dans le futur.

· Si k = --1

Alors --a²(t) = b-- (t+d)² i.e a²(t) = --b+ (t+d)² , ?t = 0_v

a2 étant une quantité positive, on obtient --b + (t + d)² = 0 i.e t = b -- d Donc t n'est pas borné dans R+ , on obtient comme solutions globales dans le

futur de l'équation (2.15)

_p

a(t) = (t + d)² -- b (3.2)

Remarque 3.1. Si t0 = 0 est l'origine des temps, on choisit d de manière que d> 0 et d² = b; et donc, a existe sur [0, +8[.

· Si k = 0v v

On a (ÿa)² = b b

_a2 ; aÿ = #177; a i.e aÿa = #177; b

D'où aÿa est constant

v

i) Si aÿa = -- b, alors aÿ 0 car a = 0_v

Intégrant cette denière relation sur [0, t] on obtient a²(t) = --2 bt + a²(0) , ?t = 0 v

Ce qui exige --2 bt + a²(0) = 0 i.e 0 t a2(0)

v 2 b

D'où t est borné; et par suite les solutions de (2.15) ne sont pas globales. v

ii) Si aÿa = + b, alors aÿ = 0_v

Intégrant cette dernière relation sur [0, t] on obtient a² (t) = 2 bt + a² (0) , ?t = 0

v

a2 étant une quantité positive, on obtient 2 bt + a²(0) = 0 , i.e. t = --a2(0)

v 2 b

Donc t n'est pas borné dans R+ , et par suite , on obtient comme solutions globales dans le futur de l'équation (2.15)

q v

a(t) = 2 bt + a²(0), ?t = 0 (3.3)

(2.14) et (2.15) 26

3.2 Cas de la matière pure

Considérons l'équation (2.14) i.e (ÿa)² = q a - k avec q = 8ðA

3 = 0 et qui exige

q - ka = 0 (toujours réalisé si k = 0 et k = -1)

· Si k = 0

_vq

Alors (ÿa)² = q 2 a ÿ = #177;vq . D'où a1

a i.e aÿ = #177; _va i.e a1 2 a ÿest constant.

i) Si a1 2 aÿ=-vq , alorsaÿ<0 Intégrant cette dernière relation sur [0, t] on obtient a^{3 2}(t) = -³ vqt+a²(0) , ?t = 0

2

Cequiexige-³ vqt+a²(0)=0 i.e 0 = t = a2(0)

2vq

2

D'où t est borné, et par suite les solutions de (2.14) ne sont pas globales.

ii) Si a1 2 aÿ = +vq, alors aÿ = 0

Intégrant cette dernière relation sur [0, t] on obtient a^{3 2}(t) = 3 vqt+a²(0) , ?t = 0

vqt + a²(0) = 0 , i.e. t = -a2(0)

2

a2 étant une quantité positive, on obtient ³ vq

2 3

2

Donc t n'est pas borné dans +; et par suite , on obtient comme solutions globales dans le futur de l'équation (2.14)

a(t)= [³ vqt+a2(0)]2 ³ , ?t=0 (3.4)

2

· Sik=60.

Nous considérons toujours l'équation (ÿa)² = q a - k et qui exige q - ka = 0 (toujours réalisée si k = -1)

Cette équation équivaut encore à davq-ka = #177;dt

a

i.e

(a q - ka)1 2 da = #177;dt (3.5)
Posons u = ( a

q-ka)1 2 , alors

a =

qu²

(3.6)

1 + ku²

Dérivons cette égalité, on obtient :

da
du

= (1+ku2)2 i.e. da = 2qu

2qu (1+ku2)2 du

Intégrons l'égalité (3.5) , on obtient :

I=R( a

q-ka)1 2 da=#177;t+c

i.e. I = R u. 2qu

(1+ku2)2 du = #177;t + c

Utilisons la technique d'intégration par parties.

Pour celà posons dV = 2qu

(1+ku2)2 du , U = u, alors

V = qu² 1

1+ku2 = q k [ (1+ku2)-1

1+ku2 ] = q k - q k 1+ku²

(2.14) et (2.15) 27

On peut donc pour cette intégration par parties remplacer V par v = _--q 1

k 1+ku²

car dv = 2qu

(1+ku2)2 du
Donc:f du

I = _--q u

k 1+ku2 + k q 1+ku2

Or f du 1+ku2 =		( Arc tan u si k = 1 II1+u 1 II si k = --1 2 ln 1-u
Donc: {I =	1+u2 +qArctanu--c si k= 1 qu II1+u 1-u2 -- qu II -- c si k = --1 2 ln q 1-u

Nous obtenons donc les relations :

qu

1 + u2 + qArc tan u = #177;t + c si k = 1 (3.7)

ln ^II_II

1+u

^II_II = #177;t +c si k=--1 (3.8)

qu q

1--u

i.e.

et

1--u² 2

1 + u2 + qArc tan u = t + c si k = 1 (3.9)

qu

qArctanu = t -- c si k = 1 (3.10)

qu

1 + u2

qu	q	ln	^IIII	1+u	^IIII	= t+c si k=--1 (3.11)
1--u^2	2			1--u

3.2.1 Existence globale des solutions pour les relations (3.9) et (3.10)

i.e -- qu

1+u2 + qArc tan u = #177;t + c si k = 1

Posons

Nous avons ç(0) = --c et lim

u--++oo ç(u) = qð 2 -- c

Comme ç est continue sur R+, ç est bornée sur R+ i.e

_II

qu q _II

1 -- u2 + ₂ ln _I1 + u I

I = t -- c si k = --1 (3.12)
1 -- u I

(2.14) et (2.15) 28

?á,âER telque á < ö(u) < â , VuER+

D'où á < #177;t <â (car #177;t = ö(u))

Ce qui montre que t varie dans un intervalle borné de R, et par suite l'équation (2.14) n'admet pas de solution globale lorsque k = 1.

3.2.2 Existence globale des solutions pour la relation (3.11).

~~1+u

i.e qu ~~ -- c = t si k = --1

1ru2 -- 2 ln

q

1ru

Remarquons d'abord que lorsque k = --1, u = ( a

q+a)1 2 , d'où 0< u < 1.

~~ = 1+u

Or 0 < u < 1. ~~1+u

1ru 1ru

Posons {

(u) = qu

1ru2 -- q 2 ln1+u

1ru -- c

0<u<1

est définie et continue sur ]0, 1[ . semetsouslaformeØ(u) = 1

1ru[ qu

1+u -- q ₂{(1--u) ln(1+u)--(1--u) ln(1--u)}]--c.

q étant positif, il apparait que :

lim (u) = +8 et lim

u?>0 (u) = --c

u?<1

De plus, est dérivable sur ]0, 1[ et Vu E ]0, 1[, on a '(u) = 2qu2

(1ru2)2 > 0.

D'où est strictement croissante

étant continue et strictement croissante, réalise une bijection continue de ]0, 1[ sur] -- c, +8[; admet donc une réciproque

r1 :] -- c, +8[--*]0, 1[

t7--* ^r1(t)

(u) = t ? u = ^r1(t)

Si on veut prendre l'origine des temps à t = 0, on prend c> 0; d'où --c < 0. comme est continue et strictement croissante , ?!u0 E]0, 1[ tel que (u0) = 0; on obtient u0 = ^r1(0); u = u0 (u) > 0 et

r1 : [0, +8[--* [u0, 1[ (car ^r1 est croissante).

Nous avons donc t E [0, +8[; et par suite, on obtient comme solutions globales dans le futur de l'équation (2.14)

a(t) = q( r1(t))2 (3.13)

1 -- ( r¹(t))²

avec

a(0) = qu2 0 (3.14)

1 -- u2 ₀

(2.14) et (2.15) 29

Remarque 3.2. On utilise la méthode ci-dessus pour étudier l'existence globale des solutions de l'équation (2.8) dans le cas d'une constante cosmologique ? non nulle. L'étude précédente montre que dans un cas comme dans l'autre (matière pure ou radiation pure), il n'y a pas existence globale sur l'espace temps de Robertson- Walker de type elliptique (k = 1).

Conclusion

Tout au long de ce travail, nous avons étudié l'existence d'une solution homogène globale dans le temps des équations d'Einstein sur l'espace-temps de Robertson- Walker dans un milieu fluide parfait relativiste. Il découle de cette étude que, dans un cas comme dans l'autre (matière pure ou radiation pure), il n'y a pas existence globale des solutions sur l'espace temps de Robertson-Walker de type elliptique (k = 1)

Cependant, plusieurs questions restent encore posées; notamment celle de savoir si l'on peut employer la même méthode dans le cas des phénomènes non homogènes? Ceci pourrait faire l'objet de nos prochaines investigations.

Bibliographie

[1] Actes du Séminaire GIRAGA, Yaoundé 1998

[2] Aubin, T. : A Course in Differential Geometrie, Graduate Studies in Mathematics, Springer-verlag, New York, 2000.

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[4] Choquet-Bruhat, Y. : Géométrie Différentielle et Systèmes Différentiels Extérieurs, D UNOD, 1968.

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[7] Perko, Lawrence. : Differential Equations and dynamical Systems, Springer- Verlag, New York, 2000.