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Modélisation de l'écoulement des dépôts à vue

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par Carlos Dendi LACGNI
Institut Sous-régional de Statistique et d'Economie Appliquée - Ingénieur d'Application de la Statistique 2007
  

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SECTION II : Le Concept d'écoulement

La méthode exposée dans cette section correspond aux exigences du Comité de Bâle. Nous définirons la notion d'écoulement en liquidité qui permet de calculer des impasses en liquidité et la notion d'écoulement en taux qui va permettre de traduire l'ajustement des taux des divers produits sur les taux d'intérêt de marché. Cette méthode est évoquée dans le document de Grégory GHIEU [2003]. Elle a été formulée du point de vue mathématique par P. Demey, A. Frachot et G. Riboulet (Groupe de Recherche Opérationnelle, Direction des Risques du Groupe Crédit Agricole) en 2001.

II.1 La notion d'écoulement en liquidité

Pour un produit bancaire donné, son écoulement en liquidité montre comment le stock disparaît dans le temps. Elle peut être contractuelle ou conventionnelle et intègre les aléas pouvant affecter la liquidité du produit. Modéliser la liquidité d'une banque nécessite l'étude de chaque poste du bilan afin de déterminer son degré de liquidité pour les actifs et d'exigibilité pour les passifs. Il importe dans l'analyse de prendre en compte les paramètres tant internes qu'externes qui peuvent agir sur la banque.

La différence entre le total de l'actif et le total du passif est nulle pour la date courante puisque le bilan de la banque est équilibré à tout instant. Cependant, lorsqu'on projette cette différence aux dates futures, elle n'a aucune raison d'être nulle. Ainsi, lorsqu'on détermine cet écart pour les dates futures, elle permet d'anticiper les montants qui pourront être empruntés ou placés aux dates futures et aussi d'évaluer une partie du risque de taux auquel s'expose la banque.

Il est donc nécessaire pour une banque d'évaluer comment chacun de ses actifs et passifs évolue au cours du temps. Il faut ainsi définir pour chaque poste du bilan la fonction d'écoulement qui permet de quantifier la probabilité qu'un franc CFA présent dans le bilan à la date d'aujourd'hui soit encore présent à une date future. On devra pour cela faire la différence entre les montants présents dans le bilan à la date t (le stock ou

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l'encours) et la façon dont ils s'écoulent, et les montants entrant dans le bilan aux différentes dates futures qui représentent la production nouvelle).

II.1.1 L'écoulement de production

La probabilité qu'un franc CFA, entré dans le bilan à une date t, y soit encore présent à une date T ultérieure est définie par une fonction appelée fonction d'écoulement de la production. Il s'agit bien dans cette définition d'un franc entré à la date t et non d'un franc CFA présent dans le bilan en t, qui y est entré avant la date t. Ceci pour indiquer qu'en général, on suppose qu'un franc CFA qui entre dans un bilan en t ne s'écoule pas de la même façon, qu'un autre franc CFA présent en t qui se trouvait dans le stock avant la date t.

De façon mathématique telle que formulée par G. Riboulet et al. [2003],

en désignant par PN(t) la production nouvelle apparue à la date t, PN(t,T) le montant de cette production encore vivante à la date T, la relation :

(3) PN ( t , T ) = PN ( t ) × S ( t , T)

permet de définir la fonction d'écoulement de la production nouvelle. Cette fonction d'écoulement a les propriétés suivantes :

> S ( t , t ) = 1 qui signifie qu'un franc CFA entrant dans le bilan à la date t se trouve toujours dans le bilan à la date t.

> S ( t , + 8 ) = 0 qui veut dire que la production disparaît tôt ou tard du bilan.

Cette fonction d'écoulement définit la convention en liquidité du produit et nécessite de définir une date arbitraire de sortie du bilan pour les produits tels que les dépôts à vue.

La notion d'écoulement contractuel concerne les produits pour lesquels il existe une date de fin de contrat. Ici la convention d'écoulement théorique correspond à l'écoulement tel qu'il est défini par les termes du Contrat. Pour illustrer nos propos, prenons le cas d'un crédit à la consommation de durée 5 ans. Au moment où ce montant entre dans le bilan, on peut définir l'écoulement contractuel du crédit comme celui correspondant à l'échéancier de remboursement mis en place.

Cependant, l'écoulement qu'on retiendra comme effectif peut être différent de l'écoulement contractuel puisque le client dispose de plusieurs options (par exemple l'option de remboursement anticipé) qui viendront modifier la convention d'écoulement. Ainsi, la fonction d'écoulement de la production nouvelle d'une banque doit à la fois

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traduire l'écoulement contractuel de cette production mais aussi l'occurrence de tous les évènements non contractuels.

Pour les produits non échéancés, c'est-à-dire ceux pour lesquels il n'existe pas de date de fin contractuelle (les dépôts à vue par exemple), les montants présents dans les comptes de ces produits peuvent être retirés à tout instant. « Il n'existe donc pas d'écoulement contractuel pour ces produits et la détermination d'un écoulement effectif reste elle-même assez problématique » (Cf. Grégory GUIEU [2003]).

Le fait que le client peut gagner ou perdre sur des produits financiers selon l'évolution des taux d'intérêt, nous amène parfois à supposer que les fonctions d'écoulement de la production dépendent : de la date d'entrée dans le bilan de la production t, du temps écoulé entre la date d'entrée dans le bilan t et la date considérée T, des taux d'intérêt de marché entre ces deux dates.

II.1.2 La vitesse d'écoulement

La fonction d'écoulement peut être définie au moyen de la vitesse ou taux d'écoulement. Cette notion ne contient ni plus ni moins d'information que la fonction d'écoulement S(.,.), mais est plus intuitive. Elle représente le pourcentage de l'encours en vie qui s'écoule par unité de temps. On la formule par l'expression mathématique :

(4) ( , ) ( , 1)

S t T S t T

- +

ë ( , )

t T = ,

( , )
t T

S

Qui s'interprète comme suit :

> en t, la production nouvelle PN(t) apparaît dans le bilan ; > en T, il reste PN ( t , T ) = PN ( t ) × S ( t , T);

> en T+1, il reste PN ( t , T + 1) = PN ( t ) × S ( t , T + 1).

La vitesse d'écoulement correspond au rapport entre la part marginale qui disparaît du bilan entre T et T+1, soit PN ( t , T ) - PN ( t , T + 1), et l'encours en vie en T, PN(t,T). (Cf. Paul Demey et al. [2003], page 22).

Avec des données mensuelles, un taux d'écoulement de 10% signifie que la production s'évapore à un rythme de 10% par mois.

L'expression en temps continu est la suivante :

(5) ( , )

? T

LnS t T

ë ( , )

t T = - ( , ) exp( ( , ) ),

? S t T = - ë t s ds ? T t

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II.1.3 L'écoulement du stock

Le stock d'un poste du bilan peut être considéré comme l'accumulation des différentes strates de production nouvelle apparues dans le passé et non encore écoulées. Par exemple, l'encours de crédits encore présents à une date correspond bien à tous les crédits contractés à une date antérieure pour lesquels les clients n'ont pas fini de rembourser les montants empruntés. Si on note D(t) l'encours de la date t, on a la relation mathématique :

t

(6) ( )

D t = PN s S s t ds

( ) ( , ) ,

×

-8

S est la fonction d'écoulement de la production nouvelle qui représente le coefficient d'amortissement. Et PN(s) la production nouvelle à la date s.

La notion d'écoulement du stock cherche à traduire le phénomène de disparition de l'encours D(t) du bilan en supposant nulles les productions nouvelles futures. Ceci permet de voir comment s'écouleraient les montants présents dans le bilan de la banque si elle arrêtait l'activité leur ayant trait. L'encours d'une date future peut s'écrire

T

(7) ( ) ( , )

D T = D t T + PN ( s ) × S ( s , T)

t

ds

 

D(t,T) représente la projection de l'encours actuel sous l'hypothèse de production nouvelle future nulle. Le second facteur représente l'accumulation entre les dates t et T de différentes strates de production nouvelle. On écrit :

t

(8) ( , )

D t T = PN ( s ) × S ( s , T )ds

-8

La fonction d'écoulement du stock est le pourcentage de l'encours qui est encore présent dans le bilan aux dates futures. Elle est définie par la relation :

(9) Sstock( t , T)

D ( t , T ) = D ( t ) ×

D'où on en déduit

t

D t T

( , ) PN s S s T ds

( ) ( , )

×

(10) -8

S t T

( , ) = =

stock

D ( t) f t PN ( s ) × S ( s , t )ds

-8

En général, la fonction d'écoulement du stock Sstock(.,.) n'est pas la même que la fonction d'écoulement S(.,.) des différentes productions nouvelles qui composent ce stock.

S'il est vrai que la connaissance de l'écoulement futur des encours actuels sous l'hypothèse des productions futures nulles, permet de déterminer les besoins futurs de

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liquidité ou les placements futurs de liquidité excédentaire, il faut également évaluer les productions nouvelles futures, pour en déduire finalement ce que seront les encours réellement inscrits au bilan aux dates futures. Cela revient à déterminer comment les encours futurs combinent écoulement de l'encours d'aujourd'hui et productions nouvelles futures. L'équation comptable ou de «conservation de la matière» :

Encours en t = Encours en t-1 + Production nouvelle - Ecoulement de l'encours entre t-1 et t répond au formalisme d'introduction des productions nouvelles futures. Mais il ne s'agit pas d'une équation de modélisation. En partant de l'expression mathématique (6),

On obtient par différentiation :

t ? S s t

( , )

(11) dD t PN t

( ) = ( ) + PN s

( ) × ds dt ,

-8 ?t

Ceci traduit exactement l'expression comptable précédente. L'expression suivante :

(12)

t ? S s t

( , )

PN s

( ) × ds

-8 ?t

(Qui est de signe négatif)

représente le flux d'écoulement de l'encours entre t et t+dt. dD(t) est donc la variation de l'encours entre t et t+dt. (Cf Frachot et al. [2003].)

II.1.4 Impasse en liquidité

Le bilan devant être équilibré à tout instant, si on désigne par Di(t) l'encours d'un poste i du bilan, p indice pour le passif et a indice pour l'actif, on a la relation

(13) p ( )

D t - D t =

a ( ) 0

p a

Cependant, si on veut projeter ce bilan à une date future, il est nécessaire d'introduire les notions de fonctions d'écoulement et de productions nouvelles que nous avons définies précédemment. L'impasse en liquidité représente la différence entre les encours d'actifs et de passifs pour toutes les dates futures, telles qu'on peut les projeter depuis la date d'aujourd'hui :

(14) Im _ ( , )

p Liq t T = D t T

p ( , ) - D t T

a ( , )

p a

Les sommes étant prises respectivement sur toutes les lignes de l'actif (respectivement passif). Cette définition ne prend pas en compte les productions nouvelles futures et donc se place implicitement dans l'hypothèse où la banque arrête son activité. Il est important de considérer les productions nouvelles futures car l'impasse précédente ne permet pas

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d'appréhender correctement les besoins futurs en liquidité de la banque. Ceci nous conduit à la définition de l'impasse dynamique7

(15) Im p _ Liq _ dyn ( t , T )= E [D p ( t , T) + t T PN ;( s ) × S ( s , T )ds-j- E [D a ( t , T) + fT PN *a( s ) × S ( s , T ) dsj, t

p a

Où *

PN a (resp. PN p ) sont les éléments de productions nouvelles anticipées dont on

*

souhaite tenir compte dans l'impasse (productions nouvelles qui elles mêmes s'écouleront).

II.2 La notion d'écoulement en taux

Le taux d'intérêt de marché qui doit être appliqué dans le futur constitue un aléa pour les besoins ou les excédents de liquidité. En effet, nous ne disposons pas des valeurs des taux de marché futurs. Pourtant il est important pour une banque d'avoir une vision claire de ses résultats futurs ainsi que les facteurs qui les influencent.

Dans la suite nous montrerons comment les taux d'intérêt interviennent à travers la rémunération reçue ou versée par la banque ainsi que sur l'impasse en liquidité. Mais avant cela, définissons ce que nous entendons par marge d'intérêt de la banque.

II.2.1 La marge d'intérêt

La marge d'intérêt est définie par

(16) M( t )= ED ( t ) × R :tock ( t) - D p ( t ) × R ftock( t)

a p

Rsi tock ( t )désigne le taux de rémunération (versé ou reçu) du poste i du bilan à la date t. Avec une vision à long terme, on peut se poser la question de savoir : Vue d'aujourd'hui, que vaudra la marge à une date future T ? On obtient la formule suivante :

(17) ( , )

M t T = E D a ( t , T ) × R :tock ( t , T) - E D p ( t , T ) × R ftock( t , T)

a p

Mais la formule précédente n'est pas exacte car il faut prendre en compte dans la projection, le fait que l'impasse en liquidité pourra être replacée ou refinancée (en fonction de son signe).

Paul Demey et al. [2003] proposent la formule suivante :

7 Cf. Paul Demey et al. [2003], Introduction à la gestion actif-passif bancaire, page 33

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a

(18) ( , )

M t T = ( , ) × ( , ) - D t T R t T

p

D t T R t T ( , ) × ( , ) - D t T

( , ) - D t T r

( , ) ×

a strock p stock a p T

a p a p

rT désigne le taux de replacement ou de refinancement instantané.

De cette formule, on remarque que l'encours de chacun des postes ainsi que les taux client doivent être projetés dans le futur.

II.2.2 L'impasse en taux

L'impasse de taux mesure l'impact d'une variation de taux d'intérêt sur la marge d'intérêt. (Grégory GHIEU [2003]). Pour l'évaluer, il suffit donc de dériver partiellement la marge d'intérêt par rapport au taux choisi. On a la formule suivante :

? M t

( )

(19) Im _ ( )

p taux t = (pour un impasse en taux court)

? r t

L'impasse en taux représente en fait la variable qu'on cherche à annuler lorsqu'on parle de couverture de la marge d'intérêt contre le risque de taux. (Grégory GHIEU [2003]).

Dans ce chapitre nous avons d'abord défini l'activité de la banque à travers son bilan simplifié et son compte de résultat, ensuite la présentation des risques bancaires nous a permis de voir que dans ses multiples activités, la banque fait face à des risques qu'elle doit pouvoir gérer afin d'assurer sa pérennité. Les risques les plus rencontrés sont les risques de liquidité et de taux d'intérêt. Enfin, le concept d'écoulement est apparu nécessaire pour une gestion plus efficace de ces risques.

Dans la suite nous ferons une revue de la littérature sur les modèles de dépôts à

vue.

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CHAPITRE DEUXIÈME

 
 
 

LES MODÈLES DE DÉPÔTS A VUE

Nous avons décrit dans le chapitre précédent les concepts de base nécessaires pour appréhender la modélisation. Par exemple nous avons constaté que le concept d'écoulement est nécessaire à la construction des impasses en liquidité et en taux, de même qu'à la gestion de certains risques du point de vue du comité de Bâle. L'hypothèse simplificatrice d'écoulement déterministe, c'est-à-dire indépendant des taux d'intérêt, permet de considérer les impasses comme des indicateurs de risque. Cette hypothèse est la règle dans la pratique courante de la gestion actif/passif. Mais parfois, dans de nombreux cas il est difficile de considérer que les écoulements sont indépendants des taux.

Avant de procéder à la présentation des modèles de dépôts à vue, il est essentiel de passer en revue les généralités concernant la modélisation des écoulements, qui nous permettront de présenter les contraintes que doivent satisfaire les modèles d'écoulement.

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"Nous devons apprendre à vivre ensemble comme des frères sinon nous allons mourir tous ensemble comme des idiots"   Martin Luther King