Résolution de l'équation de Schrodinger linéaire et l'étude de l'équation non linéaire avec une non-linéarité compacte

Résolution de l'équation de Schrödinger

linéaire et l'étude de l'équation non-linéaire

avec une non-linéarité compacte

Résumé

Ce travail est consacré a l'étude de l'équation de Schrodinger linéaire et non-linéaire. Dans un premier temps, des notions de base et des résultats préliminaires sont énoncés. Le second chapitre concerne l'étude mathématique de l'équation de Schrodinger linéaire. L'existence et l'unicité d'une solution ainsi que les propriétés de dispersion et de régularité de cette solution sont analysées. La dernière partie est dédiée a l'étude de l'équation de Schrodinger non-linéaire

i

8w

+ w + V (x) jwj^p~1 w = 0, w = w(t_; x) : I ~ R^N --p R_; N ~ 2 (NLS)

@t

On p > 1, V : R^N \ {O} --p et I c est un intervalle. Le coefficient V fait l'objet

de diverses hypothèses. En particulier, il est toujours supposé que V (x) --p 0 lorsque jxj --p 00.

La recherche des solutions sous la forme d'ondes stationnaires ço(t, x) = e^i~tu(x) conduit naturellement a l'équation elliptique semi-linéaire

u - Au + V (x) uj^p~1 u = 0, u : J^N --p 1I, N ~ 2 (EA)

Les deux principaux objectifs pour l'équation non-linéaire sont

(1) Etablir des résultats d'existence, de régularité et d'unicité pour (E).

(2) Discuter la stabilité orbitale des ondes stationnaires de (NLS) correspondant aux solutions trouvées en (1).

Mots-clés: Equation de Schrodinger linéaire. Equation de Schrodinger non-linéaire. Equations elliptiques semi-linéaire.

Table des matières

Introduction générale 1

1 Notions de base 6

1.1 Résultats préliminaires 6

1 . 1 . 1 Inégalité de Holder 6

1 . 1 . 2 Rappels sur les espaces de Sobolev 7

1 . 1 . 3 Estimations utiles .... 9

1 . 1 .4 Convergence faible 1 0

1 . 1 . 5 Quelques opérateurs continus 1 2

1 . 2 Quelques propriétés de la transformée de Fourier 1 2

1 . 2 . 1 Le produit de convolution 1 3

1 . 3 Rappels sur le calcul différentiel 1 4

1 . 3 . 1 Différentielle au sens de Fréchet 1 4

1 . 3 . 2 Dérivée directionnelle 1 4

1 . 3 . 3 Différentielle au sens de Gâteaux 1 5

1 . 3 .4 Points critiques 1 6

1 . 3 . 5 Continuité et différentiabilité de quelques opérateurs 1 6

1 .4 Multiplicateurs de Lagrange 1 7

1 . 5 Fonctionnelles minorées 1 8

1 . 6 La symétrisation de Schwarz 1 9

1 . 6 . 1 Les fonctions a symétrie sphérique 1 9

1 . 6 . 2 Le réarrangement décroissant 20

Table des matières

1.7 Variétés différentielles ............................2 1

1 . 7. 1 Homéomorphisme ............................2 1

1 . 7. 2 Difféomorphismes et isomorphismes ............ ....2 1

1 . 7. 3 Variété topologique ...........................2 2

1 . 7.4 Sous variétés ..............................2 2

1 . 7. 5 Variété de Nehari ............................23

2 L'équation de Schrödinger linéaire 24

2.1 Introduction 24

2 . 2 Le problème de Cauchy 24

2 . 2 . 1 Donnée dans 8^'(i^N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 . 2 . 2 Donnée dans 8(1^N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 . 2 . 3 Donnée dans H^s(R^N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2 . 3 Propriétés des solutions 3 1

2 . 3 . 1 Forme de la solution 3 1

2 . 3 . 2 Dispersion . 32

2 . 3 . 3 Vitesse infinie de propagation 33

3 L'équation de Schrödinger non-linéaire avec une non linéarité compacte 35

3.1 Introduction 35

3 . 2 Etats fondamentaux 36

3 . 2 . 1 Existence 37

3 . 2 . 2 Régularité 46

3 . 2 . 3 Unicité 50

3 . 3 Stabilité orbitale des ondes stationnaires 5 5

3 . 3 . 1 Le problème de Cauchy 56

Conclusion 63

Bibliographie 64