Résolution de l'équation de Schrodinger linéaire et l'étude de l'équation non linéaire avec une non-linéarité compacte

2.3 Propriétés des solutions

2.3.1 Forme de la solution

Théoreme 2.3.1 Si g 2 5^1' (R^N) alors pour tout t _L 0, la solution du probleme (1.1) sWrit

1 tit (X) = N e (47r Itl)^2

~ ~ ~~ ~ x ~ ~iN ~ 4 sgn tei jxj2 ei jxj2 4t F 4t g (1.10) 2t

Oit sgn t designe le signe de t.

Démonstration. Casl. Supposons g 2 _C1 ~RN~ ; la formule (1:2) donne

0

ut (x) = F (C^ite "g ()) et d'apres le théoreme (2.2.2) on a

u (t, x) = (27r)^-N I e^i4-iql2§()d _ (27)^-N P (c^ite (x)

R^N

Et comme T*S = F (1^.1.,§) , VT 2 5^1' (R^N) et VS 2 (R^N) (d'apres la remarque (1.2.2)) alors

u (t, x) = (27r)-N [^P (^Cite) * gl (x)

D'apres (B.3) dans les remarques (1.2.1) on aura

u (t, x) = (27)^--N 7rN t^2

~ eiN ~ ei :jxj2 4 sgn t 4t

* g I (x) (1.11)

Or

~ ~i1x12 e 4t * (x) = I R^N

Z g (y) ei jx~yj2 4t dy = ei jxj2 4t RN

g (y) e^-iL^Yeqt d y

~ ~ ~ x ~

= ei jxj2 ei jxj2

4t F 4t g

2t

Remplaçant dans (1.11) on obtient le résultat

1 u (t; x)-- N e (47r ItI)^2

~ ~ ~~ ~ x ~ ~iN ~ 4 sgn tei jxj2 ei jxj2 4t F 4t g 2t

Cas 2. Supposons g E S^' (R^N) .

On a Co (R^N) dense dans 5^1' (R^N) , donc

Vg E S0 (RN) , gk E Cr (R^N) tel que gk --> g dans S^' (R^N)

D'apres le théoreme (2.2.2), on a uk E (R, S (R^N)) on uk est la solution du probleme

(1.1) avec donnée gk, et d'apres le théoreme (2.2.1) on a

(Uk)t = F (e^-itlx12 §k)

Or §k --> g dans 5^1' (R^N) et e^-itlx129k --> e^-itlx129 dans 5^1' (R^N) ,

donc (uk)_t --> (u)_t dans S^' (R^N) , ou u solution de (1.1) avec donnée g. D'autre part, e^illⁱt ²gk --> ei jxj2

4t g dans 5^1' (R^N).

Donc

F (e^{i 11}: gk) o At --> F (e^{i 141}: g) o A _t dans 5^' (R^N)

avec At : R^N --> R^N; x 7--> ;.

D'ofi la formule (1.10) est vérifiée pour g E S^' (R^N) .

2.3.2 Dispersion

Theoreme 2.3.2 Pour tout t _L 0 et tout x E R^N, si g E L¹ (R^N) alors la solution u du probleme (1.1) verifie

-N

lIutlIL^.(R^N) (47 ItI) ² lIglIL^l(R^N)

Demonstration. D'apres (1.10) on a

~ ~ ~~ ~ x ~

1

ut (x) = ₂ eiN ~ 4 sgn tei jxj2 ei jxj2

4t F 4t g

(4 jtj)N 2t

donc	MUt (X)11L°°(RN) =	~ II ~ ~ ~ ~	1		~ ~ ~~~ ~ eiN ~ 4 sgn tei jxj2 ei jxj2 ~ 4t F 4t g ~ ~
			(47r Itl)	N 2			L^o(R^N)
= 1 2 jtj~ (4)^N						~ ~ ~~ N ~ ei jxj^2 ~ ~ 2 ~F ~ 4t g ~Lo(RN)

~ 1NItl

(47r) 2

~ ~ ~~

~ ei jxj² ~

~ ~F ~

4t g ~

1

= N ² lIghl(RN)

L^l (R^N) (4ir) 2

N
2

N

D'of.i le résultat.

2.3.3 Vitesse infinie de propagation

Enoncons le corollaire qui donne la régularité de la solution qui dépend du comportement de la donnée a l'infini et non pas de sa régularité.

Corollaire 2.3.1 (i)Soit u solution du probleme (1.1).

Si g 2 E^' (R^N) alors

ut 2 C^°° (R^N) , Vt =6 0

(ii)Soient A > 0 et g (x) = e-iAlx12, alors

4A

u 1 = (47A)N2 eiA1
·12e-iN 74 80

Demonstration.

~

(i)Comme ei jxj2

4t g 2 "0 ~RN~ alors F ~ ei jxj2

4t g 2 C^°° (R^N) d'apres la remarque (1.2.2) , en utilisant (1.10) on aura le résultat.

(ii)Toujours d'apres (1.10) , on a

~ ei~jxj2e~i~jxj2~

u 1 (x) = N 2 ~~ N 2 ein ~ 4 ei~jxj2F

4

= AA2 A2 ein 4 e^iAlx12F (1)

N N 7r
·

= A 2 _7r^-- 2 _e^--in4 e^zAlx12 (27r)^N So, d'apres (B.2) dans les remarques (1.2.1)

Donc

u 1 = (4ii-A)N 2 ei~j:j2e~i" ~ 4 80

4A

Remarque 2.3.1 On a d'aprês (i) une donnée qui n'est pas réguliêre qui a donné une solution de classe C^OO (i^N). Tandis (ii), une donnée COO (i') fournit une solution qui est singuliêre.

le corollaire montre que la régularité de la solution pour t =6 0, n'est pas reliée a la régularité de la donné en t = 0, mais de son comportement a l'infini.

Ce phénoméne est connu sous le nom de propagation a Vitesse infinie.

CHAPITRE3
	L'équation de Schrödinger non-linéaire avec une non linéarité compacte