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Systeme de transition sur les ordre Partiellement complet

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par Joseph Dongho
Yaoundé - DEA 2006
  

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Systèmes de transition sur les ordres partiels

complets

DONGHO Joseph

Janvier 2006

Dédicaces

Je dédie ce travail à :

· Mon père FOMDOCK Joseph qui m'a toujours procuré ce dont j'avais besoin pour mon épanouissement. Que cette oeuvre soit une exhortation à ses voeux.

· Ma mère NGUIMMO Jeanne pour sa vitamine de croissance. Merci Maman.

· A mon tuteur REMBOU ZEUFACK Célestin que je considère beaucoup.

· A ma défunte grand-mère ZEMFACK Cecile. Que ceci soit un début d'accomplissement de tes rêves.

· A mon oncle et plus que père TELEZEM Jean Marie pour toute sa débauche d'énergie à la réussite de ce travail. Que ce mémoire soit pour lui le fruit de ma promesse.

Remerciements

Mes remerciements vont tout droit :

· A l'endroit du Dr. NKUIMI JUGNIA Célestin pour avoir guidé mes premiers pas dans la recherche. Que cette oeuvre soit pour lui le gage de toute ma reconnaissance, afin que l'élève sache qui est le maître et le vénère.

· A tous mes enseignants du supérieur, pour les connaissances de toute nature dont ils m'ont fait grâce. Particulièrement, je dit un grand merci à mon enseignant de logique Dr. Marcel TONGA dont la rigueur et la flexibilité dans les principes m'ont donné un amour illimité de l'algèbre.

· Je remercie tous les membres de l'ERAL pour l'instruction qu'ils m'ont donnée à travers les séminaires et Ateliers. Que Dieu prête longue vie à cette modeste équipe. Plus particulièrement, je remercie mes aînés de l'option catégorie à savoir Kiampi, Mavouggou, Tchougon Nguefack, Koguep, Fokou, Tchoupo.

· A mon ami de toutes les peines et joies MBIAKOP Hilaire Georges.

· A mes frères et soeurs FOUELEFACK Mitterine . MANETEUG Mitterine, NOUMOGNI Robert, M TENANGUE Guy, Mme TENANGUE Laure, DONKENG Pascal, TEMGOUA Solange, LEMOGO David pour qui je ne regrette pas la fraternité.

· A ma modeste famille Annie Noel DONFACK, DONGHO Berkoff Junior, FUMDOCK TSAFACK Veudris U, MAGIMTSA Maïva

· A mon cousin et père Dr. TEMGOUA Abert Pascal, pour m'avoir accueilli à Yaoundé et pour m'avoir assisté dans toutes mes entreprises. Je lui exprime ici toute ma gratitude ainsi qu'à sa modeste famille que je respecte beaucoup.

· A mes camarades de promotion en l'occurrence , TABET, PELAP, DIEKOUAM, TCHOUKOUEGNO, NGONDIEP, MENOUKEU, ONGADOA Christian à qui j'exprime un grand soulagement. Qu'ils trouvent en ce mémoire le fruit des nuits blanches passées dans les amphis et laboratoires.

Que tous ceux qui ont contribué de loin ou de près à la réussite de ce chef d'oeuvre acceptent mes sincères remerciements.

iii

Résumé

Considérons un ordre A dont toute partie dirigée admet un supremum. Un tel ordre est appelé opc. La collection des parties de A filtrantes et inaccessibles par suprema dirigés induit sur A une structure topologique appelée topologie de Scott. Les applications continues au sens topologique entre opcs sont essentiellement celles qui préservent les supréma dirigés. En informatique théorique, un système de transition est un couple ( ) formé d'un

S, S //

ensemble S et d'un sous ensemble S // de S X S. Jusqu'à présent, cette théorie n'est

définie que sur la catégorie ENS. Nous l'introduisons sur la catégorie CPO dont les objets
sont des ensembles enrichis d'une structure ordonnée. Par analogie au cas ensembliste, un

( )

système de transition sur la catégorie CPO est simplement un couple A, A // formé

d'un opc A et d'un sous opc A // de A X A.

Nous montrons que bon nombre de propriétés des systèmes de transition ensemblistes restent vraies dans le cas des systèmes de transition sur les opcs.

Table des matières

Dédicaces i

Remerciements ii

Résumé iii

Introduction 1

1 ETUDEDELA CATÉGORIE CPO 2

1.1 Construction de la catégorie CPO. 2

1.1.1 Quelques définitions de bases 2

1.1.2 Quelques exemples d'opc5 3

1.1.3 Morphismes d'opc5 . 4

1.1.4 Topologie de Scott 5

1.1.5 Caractérisation des monos et épis dans la catégorie CPO. 8

1.2 Produits d'opc5 . 10

1.3 Exponentiation dans CPO 16

1.3.1 Graphe d'un homomorphisme d'opc5 18

1.4 Coproduit des opc5 20

1.4.1 Exemples de coproduits 21

1.5 Complétion d'un ensemble ordonné en un opc 22

2 SYSTÈME DE TRANSITION SUR LA CATÉGORIE CPO 26

2.1 Construction de la catégorie des systèmes de transition sur CPO. 26

2.1.1 Quelques définitions de base. 26

2.1.2 Quelques propriétés des systèmes de transition. 27

2.1.3 Quelques exemples et contre exemples de systèmes de transition. 29

2.1.4 Morphismes de systèmes de transition. 29

2.1.5 Quelques propriétés des morphismes de systèmes de transition. . 30

2.1.6 Quelques exemples de morphismes de systèmes de transition. . . 31

2.2 Notion de bissimulation entre systèmes de transition sur CPO 34

2.2.1 Quelques exemples de bissimulations 34

2.2.2 Construction de quelques bissimulations . 36

2.3 Système de transition et coalgèbre d'un endofoncteur de CPO 37

2.3.1 Coalgèbre 37

2.3.2 Système de transition comme coalgèbre d'un foncteur 38

Bibliographie 40

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