Systeme de transition sur les ordre Partiellement complet

Introduction

D'une manière informelle, une transition est une relation entre deux états d'un s_ystème évolutif_; cette relation peut exprimer l'évolution du s_ystème. Par exemple, le passa_ge de l'eau de l'état solide à l'état li_quide est une transition. Dans la caté_gorie ENS, un s_ystème de transition est la donnée d'un couple ( ) formé d'un ensemble S et d'un sous

S, S //

ensemble S //de S x S. Par analo_gie, étant donné un opc S, une structure de transition

sur S est un sous opc S //de S x S. La maîtrise de la notion de s_ystème de transition

sur un opc nécessite une bonne connaissance des opc⁵.

-Au chapitre premier, nous construisons la caté_gorie CPO des opc⁵. Nous montrons _que tout opc est enrichi d'une structure topolo_gi_que, la topolo_gie de Scott. Nous montrons _que les morphismes de CPO sont exactement les applications continues au sens topolo_gi_que. Nous terminons par l'importante construction de la complétion d'un ensemble ordonné en un opc.. -Au chapitre deux, nous construisons la caté_gorie des s_ystèmes de transition sur la caté_gorie CPO et nous prouvons l'essentiel des résultats énoncés par J.J.J.M.Rutten dans son article intitulé Universal coal_gebra : a theor_y of s_ystems_{; q}ui traite des s_ystèmes de transition ensemblistes.

ChaPItre PremIer

ETUDE DE LA CATÉGORIE CPO

Nous donnons les définitions de base de la caté_gorie CPO. Nous introduisons les topolo_gies de Scott et nous montrons _que les morphismes de CPO sont exactement les applications continues au sens topolo_gi_que. Nous terminons en montrant _que CPO est cartésienne fermée.

1.1 Construction de la catégorie CPO .

1.1.1 Quelques définitions de bases.

Définition 1.1. On appelle ensemble ordonné ou simplement un ordre tout couple (A, A) formé d'un ensemble non vide A et d'une relation binaire A sur A _qui est réflexive, antisymétrique et transitive.

Etant donné un ordre (A, A), toute partie totalement ordonnée de A par l'ordre induit est appelée chaîne.

Une chaîne de la forme :

a0 _A a1 _A ...

est appelée une w-chaîne

Définition 1.2. Un ordre (A, ) est dit w-complet si toute w-chaîne de (A, ) possède une borne supérieure.

Une notion aussi couramment utilisée _que celle de l'ordre w-complet est celle de l'ordre diri_gé-complet.

Définition 1.3. Soit (A, ) un ordre. Une partie non vide D A est dite filtrante ou

diri_gée si pour tout x, y dans D, il existe z dans D tel _que x z et y z.

Un ordre (A, ) est dirigé-complet ou filtrant-complet si toute partie diri_gée de (A, ) admet. un supremum.

La proposition suivante dont la démonstration re_quiert l'axiome de choix, établit l'é_quivalence entre ces deux définitions. Nous l'admettons.

Proposition 1.1. Un ordre minoré est w - complet si et seulement s'il est diri_gé-complet. Nous pouvons à présent donner la définition d'un opc

Définition 1.4. Un opc est un ordre diri_gé-complet.

Lors_qu'en plus (A, ) possède un plus petit élément, l'on dit _qu'il est un opc minoré.