Systeme de transition sur les ordre Partiellement complet

1.1.2 Quelques exemples d'opcs.

i) Soit X un ensemble. (P(X), Ç) possède l'ensemble vide comme plus petit élément.

Toute partie D Ç P(X) admet U X?D		X comme supremum arbitraire, à fortiori, pour D
dirigée, U X?D	X est le supremum de D.

Donc (P(X), Ç) est un opc minoré.

ii) (N, ) n'est pas diri_gé-complet car la w-chaîne : 0 1 2 ...

n'admet pas de supremum. Donc (N, ) n'est pas un opc.

iii) (N, )=(N U {+00}, ) où, est le prolon_gement de l'ordre naturel de N par la
relation pour tout n dans N, n +00, admet zéro comme plus petit élément et pour toute partie diri_gée D Ç N,

sup N

½ +00 si D est infini ou si +00 est dans D D = max{d, d E D} si D est fini.

Donc (N, ) est un opc minoré.

iv) (Q, )=(QU{+00}, )où est le prolon_gement de l'ordre naturel de Q par la relation pour tout x dans Q, x +00, n'est pas un opc car la suite croissante :

? ? ?	x0 = 1 xn+1 =	2xn + 2
		xn + 2

de points de Q conver_ge vers J2 E/ Q. Donc (Q, ) n'est pas un opc.

vi) Soit (A, ) un ordre majoré. Posons Filt(A) l'ensemble des filtres (pour l'ordre) sur A.

Nous rappelons _qu'une partie non vide F d'un ordre (A, ) est un filtre pour l'ordre sur A si pour tout x, y E A, si x E F et x y, alors y E F. Soit D une partie de (Filt(A), Ç). Posons

UF = X.

X?D

* Montrons _que F est un filtre sur A.

Soientx,yEFtels_quex y.IlexisteXEDtel_quexEXetx y.OrXED. Donc x E X et x y, impli_que_; y E X Ç F. Par suite, F est un filtre sur A.

* * Montrons _que si D est une partie diri_gée de (Filt(A), Ç), alors F est son supremum diri_gé .

Comme F est le supremum arbitraire de toute partie D de (P(A), Ç), à fortiori, pour D partie diri_gée de (Filt(A), Ç), il est le supremum diri_gé de D.

* * * Montrons à présent _que (Filt(A), Ç) admet un plus petit élément. Soit a0 le majorant de (A_; ).

Il est clair _que {a0} est un filtre sur A et _que {a0} est le plus petit élément de (Filt(A), Ç).

On conclut donc _que (Filt(A), Ç) est un opc minoré.

viii) Soit N un ensemble non vide. Posons Fonct(N, N) l'ensemble des fonctions de N vers N. Munissons Fonct(N, N) de l'ordre de prolon_gement défini par la relation :

f g si et seulement si domf Ç domg et g prolon_ge f

- Montrons _que (Fonct(N, N)_; ) est diri_gé-complet.

Soit D une partie diri_gée de (Fonct(N, N)_; ). Considérons la fonction

÷:U f?D

domf -? N

x i-?f(x) sixEdomf
- Montrons _que ÷ est bien définie.

Soit x E U f?D

dom f; si x est dans domf n domg alors, f et g étant dans la partie

diri_gée D de (Fonct(N, N) ; ), il existe h dans D tel _que f h et _g h, i.e, h prolon_ge f et g. Donc f(x) = h(x), g(x) = h(x) i.e_; f(x) = g(x). Ce _qui achève de montrer _que ÷ est bien définie. Il est clair _que ÷ est le supremum de D. Ainsi (Fonct(N, N)_; ) est un opc.

Notations

i) Dans la suite, un opc (A, ) sera noté A lors_qu'aucune ambi_guïté n'est possible.

ii) Etant donné un opc A, le supremum d'une partie diri_gée D Ç A sera noté ^VA D.