1.1.3 Morphismes d'opcs .
Définition 1.5. Une application f: A ? B
entre deux opcs A et B est dite
continue, au sens de l'ordre, si elle préserve les suprema
dirigés, i.e pour toute partie dirigée
D de A, V8 f(D)
f(VA D).
Remarque 1.1. i) Si f est croissante alors
pour toute partie dirigée D de A, f
(D) est
une partie dirigée de B. En effet,
si f (x), f (x') E f (D)
alors, comme D est dirigée, il existe t E D
tel que x t et x' t. f étant
croissante, f (x) f (t) et f
(x') f (t). Donc f
(D) est une partie dirigée de B.
ii)
Si f préserve les suprema
dirigés, alors pour tout x x', x' étant le
supremum dirigé de {x, x'} Ç A,
f(x') = V8{f(x),
f(x')}, i.e, f(x)
f(x'). Donc f est croissante.
Ainsi, toute application qui préserve les
suprema dirigés est croissante. Cependant, l'on notera
qu'il existe des applications croissantes qui ne
préservent pas les suprema dirigés. C'est le cas de
l'application f définie de A vers A
ci-dessous représentée où les flèches non
étiquettées représentent l'ordre et les
flèches étiquetées par f l'application
f
f **
77
§§
77
z gg
f
§§
z gg
y·
""
y·
§§
x
x
y gg
77 y
FF
::
f
Car A est une partie dirigée de
supremum z mais f (z) =6 z.
Ceci étant, pour montrer qu'une application
f est continue, nous montrerons simplement qu'elle
préserve les suprema dirigés.
est continue.
n +1 si n +oo +oo si non
(N, <) (N, <)
s
n 7!
Exemple 1.1. 1) Les identités sont continues.
2) L'application suivante
Dans l'optique de construire une
catégorie ayant pour objets les
opcs, il convient pour nous de voir si la composée
des applications continues est continue. Ceci est l'objet du résultat
ci-dessous.
Proposition 1.2. La composée de deux applications
continues est continue.
Preuve. Soient f : A --> B et
g : B --> C deux applications continues. Soit D une
partie dirigée de A, alors f (D)
et g (f (D)) sont dirigées de
B et C respectivement. De plus,
g 0 f (VA D)
if (V1
= V g (f (D)) , car
g est continue
g VB f (D)
car f est continue
,
VC g 0 f (D)
|
Donc g f (VA D) VC g
f (D). Par suite, g 0 f est
continue.
|
|
Nous en déduisons le résultat ci-dessous.
Théorème 1.1. Les opcs et les
applications continues entre eux forment une catégorie
notée, CP O.
1.1.4 Topologie de Scott.
Définition 1.6. Soit A un opc.
Une partie U de A est appelée ouvert de
Scott si :
1) elle est ascendante (filtrante), i.e; pour
tout x, y dans A, si x < y et x E
U alors y E U;
2) elle est inaccessible par suprema dirigés
i.e ; si D est une partie dirigée de A
et VA D EU alors D nU =6 ö.
Notations Soit A un opc, et x E A. On note :
x #=fy E A : y < xl et x ify E A : x
yl.
Proposition 1.3. Soit U C A; U est un ouvert
de Scott ssi pour toute partie dirigée D de
A, VA D EU ssi D
nU =6 ö
Preuve. Soit U une partie de A.
* Supposons U un ouvert de Scott.
Soit D une partie dirigée de
A. Supposons VA D E U, d'après la
définition(1.6.(2))
D nU =6 ç.
Réciproquement, si D nU =6 ç, il
existe d0 E D nU.
d0 WAD et d0 E
U impliquent, d'après la définition(1.6.(1)), que
WAD E U.
** Réciproquement, Supposons
que pour toute partie dirigée D de A,
WA D E U ssi DnU=6
ç.
Montrons que U est ouvert de Scott.
i) Si x y et x E U alors y est le
supremum de la partie dirigée {x, y} et x E {x,
y} n U. Donc, par hypothèse,
y=WA{x, y} E U.
ii)
La deuxième propriété est
immédiate.
Exemple 1.2. Dans (N? {+8}, ), les ouverts de
Scott sont les sous ensembles n j de N pour n E N.
Proposition 1.4. Les ouverts de Scott d'un OPC A
induisent sur A une Topologie. Preuve.
i) Stabilité pour l'union arbitraire.
Soit(Ui) i E I une famille
d'ouverts de Scott de A. Posons U = S i?IUi.
* Soient x et y deux
éléments de A tels que x y et x
E U. Il existe j0 E I tel que;
x E Ui0. Ui0 étant un ouvert de Scott, x E
Ui0 et x y implique, y E
Ui0 ? U. Donc U est filtrante.
** D
WA D Soit une partie dirigée de A
telle que WA D E U, alors il existe
j0 E I tel que
E Ui0. Ui0 étant inaccessible par
suprema dirigés, il existe d E D tel que,
d E Ui0 ? U. Donc U n D =6 ç. i.e,
U est inaccessible par suprema dirigés.
ii) Stabilité pour les intersections finies.
Soient U et V deux ouverts de Scott.
* Soient x et y deux
éléments de A tels que x y et x
E U n V. Alors, l'ascendance de U et de V entraîne
que y E U n V.
** Soit D une partie
dirigée de A telle que WA D
E U n V. U étant inaccessible par suprema
dirigés, il existe d1 dans U n D. De
même, il existe d2 dans V n D. D étant
dirigée, il existe d E D tel
que; d0 d et d1 d. U
et V étant ascendants, d E U n V. Donc
(UnV)nD=6 ç.
Définition 1.7. La topologie définie
par les ouverts de Scott est appelée topologie de Scott
Lemme 1.1. Une partie F d'un ope A est
fermée si et seulement si pour toute partie dirigée
D de A, D ? F si et seulement si
WAD E F
Preuve. La preuve découle de la définition
(1.7) De ce lemme, il en découle que :
Lemme 1.2. x ? est un fermé de Scott.
Preuve. Soit D une partie dirigée de
A.
D?x? ssj pourtoutyED,yEx ? ssj pour
tout y E D, y x ssj WADEx?
Exemple 1.3. (Quelques fermés de Scott)Donnons
les fermés de Scott des opc8 A, B et C
ci-dessous représentés :
i)
A= a
u
``BB>>~
BB~
B~
B~
B~
B
~ ~
v
99
``AAee AAAAAA
x
O
99
O
>}> }}}}}}}
t
dd __????????
z
99
w ff
m ff
ee
a pour fermés
{m}, {v}, {w}, {m, v}, {m, w}, {v, w}, {m, v, x}, {m, x, v,
w},
{m, x, v, z}, {m, x, v, w, z}, {v, w, u}, {m, v, w, u}, {m,
v, w, x, u}, {m, z, x, t, v, u, w}, {m, w, x}, {m, w, x, v}, {m, v, w}, A
et ç!)
B= :: b c dd
£ AA£
]]<<<<<<<< £ £
£ £
£ £
d
99
ii)
apourfermés {d}, {b, d}, {c, d}, B,
etç!)
iii)
C= x
OO
ee
??
z
99
y
ee^^========
t dd
a pour fermés {z}, {t}, {z, t, y}, {z, t}, C et
ç!)
Etant donnée une application f: A ? B
entre deux opc8, f peut être continue
au sens de l'ordre ou au sens de la topologie de Scott. L'on se
demande si ces deux continuités sont équivalentes? Les
résultats ci-dessous nous permettent de conclure.
Proposition 1.5. Soient A et B deux
opc8. Si f: A -? B est continue au sens
de l'ordre, alors f est continue au sens
topologique.
Preuve. Supposons f continue au sens de
l'ordre.
Montrons que f est continue au sens
topologique.
Soit U un ouvert de B. Nous allons montrer que
f-1 (U) est un ouvert de A.
Soient x et y dans A tels
que x y et x E f-1 (U) alors
f(x) E U. f étant monotone, x y
et f(x) E U implique
f(x) f(y) et f(x) E
U. De plus U étant filtrant, f(y) E
U. Donc
y E f-1 (U). Soit D une
partie dirigée de A telle que
WAD E f-1 (U). Alors
f(VAD) E U.
Comme f préserve les suprema
dirigés, VB {f (d) , d E
D}= f (VA D) E U.
D étant une partie dirigée de A et
f monotone, {f (d), d E D} est une partie
dirigée de B. U étant un ouvert
de B et VB {f (d), d E D} E
U, il existe d0 dans D tel que f
(d0) E U.
Donc D n f-1 (U) =6
ö.
Les résultats ci-dessous nous permettent d'établir
la réciproque de cette proposition.
Lemme 1.3. Soit A un opc, y un
élément de A.
l'ensembleUy={x : x y} est un ouvert
de Scott.
Preuve. Soit D une partie
dirigée de A
D n Uy = ö ssi pour tout
d E D, d= y
ssi VA D = y
ssi VA D E/Uy
De la proposition (1.3), on conclut que
Uy est un ouvert de Scott.
Lemme 1.4. Si une application f : A ? B entre
deux opcs A et B est continue au
sens topologique, alors elle est monotone.
Preuve. Soient x et y deux
éléments de A tels que x = y. Il
faut montrer que f (x) = f
(y). Supposons f(x)
f(y) alors, d'après le lemme(1.3),
Uf(y) est un ouvert. f étant continue au sens
topologique, f-1 (Uf(y)) est un ouvert de
A. Or x = y et x E f-1 (Uf(y)). Donc
f-1 (Uf(y))est filtrant et x =
y; par suite, y E f-1 (Uf(y)).
Ce qui signifie que f
(y) f (y). Absurde car A est
un opc.
Donc f(x) = f(y).
A l'aide de ces lemmes, nous pouvons à présent
démontrer la réciproque de la proposition(1.5)
suivante :
Proposition 1.6. Si f : A -? B est continue au
sens topologique, alors f est continue
au sens de l'ordre.
Preuve. Soit D une partie
dirigée de A, alors f étant
croissante, f (D) est une partie dirigée
de B. De plus,
1 (VB f (D)) ?
VB f (D) majore f
(D) ssi pour tout d E D, d E f-
ssi D C f-1 (VB f (D)) ?
ssi VB D E f-1 (VB f
(D))?carf-1 (VB f
(D)) ? est fermé . ssi f
iVA D E (VA f
(D))
ssifD=f(D)
|
La deuxième inégalité
découle de la monotonie de f.
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