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Invariants d'une algèbre centrale simple à  involution

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par Jamal Nafie
Université Sidi Mohamed Ben Abdellah Faculté des Sciences et Techniques de Fès - DESA 2008
  

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Université Sidi Mohamed Ben Abdellah Faculté des Sciences et Techniques de Fès

 

Département de mathématiques

UFR-DESA-A.T.N.A.S.I

Algèbre Théorie des Nombres et Applications aux Sciences de l'Information

Mémoire de DESA

Invariants d'une algèbre centrale

simple a u involution

Présenté par

Jamal Nafie

Dirigé par

Pr. Lahcen Oukhtite
Soutenu le 8 novembre 2008 devant le jury constitué par :

Pr. M. Boulagouaz FST. Univ. de Fès Membre Rapporteur

Pr. M.E. Charkani FS. Univ. de Fès Président

Pr. M.A. Elomary FST. Errachidia Membre Rapporteur

Pr. L. Oukhtite FST. Errachidia Membre Rapporteur

Invariants d'une algèbre centrale simple àinvolution

Remerciements

Je tiens à exprimer ma profonde gratitude au professeur Lahcen Oukhtite, pour avoir accepter de diriger ce travail avec toute attention et pour ses orientations fructueuses.

Je remercie le professeur M'hammed Boulagouaz pour ses orientations et son soutien durant tout ce cursus de D.E.S.A.

Je tiens à remercier tous les professeurs de D.E.S.A, »Algèbre Théorie des Nombres et Applications aux Sciences de l'Information». Ainsi que tous mes collègues.

En fin je remercie tous les amis qui m'ont apporté de l'aide.

Table des matières

1

Remerciements

Introduction

Rappel sur les algèbres centrales simples

3
6

8

 

1.1

Définitions et exemples

8

 

1.2

Théorème de Wedderburn

9

 

1.3

Groupe de Brauer

11

 

1.4

Algèbre conjuguée - Norme d'une algèbre

12

2

Involution d'une algèbre centrale simple

14

 

2.1

Involutions et formes bilinéaires

14

 

2.2

Types d'involutions sur une algèbre centrale simple

17

 

2.3

Existence d'involutions de première espèce

22

 

2.4

Existence d'involutions de deuxième espèce

26

 

2.5

Algèbres à involution sur un corps de caractéristique deux

28

3

Les invariants d'une algèbre centrale simple à involution

32

 

3.1

Indice de Witt d'une algèbre centrale simple à involution

32

 
 

3.1.1 Involutions et formes hermitiennes

32

 
 

3.1.2 Idéaux d'une algèbre centrale simple

35

 
 

3.1.3 Indice de Witt d'une algèbre centrale simple à involution

36

 

3.2

Discriminant d'une involution

38

5

 

TABLE DES MATIÈRES

38

40

 

3.2.1
3.2.2

Discriminant d'une involution orthogonale

Application : Algèbre à involution décomposable

3.3

Algèbre de Clifford d'une involution

41

 

3.3.1

Algèbre de Clifford d'un espace quadratique

41

 

3.3.2

Algèbre de Clifford d'une involution orthogonale

43

 

3.3.3

Application : caractérisation des involutions conjuguées

45

3.4

Signature d'une involution

46

 

3.4.1

La forme trace d'une involution

46

 

3.4.2

La signature d'une involution de première espèce

48

 

3.4.3

Application : Involutions indécomposables

49

Introduction

Dans ce document, sauf mention du contraire, tous les corps considérés sont commutatifs et de caractéristique différente de deux.

Le présent travail a pour but de présenter quelques invariants d'une algèbre centrale simple de dimension finie à involution.

Dans le premier chapitre, on rappelle certaines définitions et propriétés concernant les algèbres centrales simples et on cite quelques résultats élémentaires indispensables pour la suite. Les livres de Draxl [3], Pierce [12], Scharlau [13] sont des références générales sur ce sujet.

Le second chapitre est consacré à une correspondance biunivoque entre les involutions de première espèce sur l'algèbre d'endomorphismes EndF(V) et les formes bilinéaires non singulières sur V. Ensuite, on expose la démonstration du résultat qui montre que les involutions de première espèce sur une algèbre centrale simple quelconque sont, après extension des scalaires à un corps neutralisant K, identifiées à des involutions de première espèce sur une algèbre d'endomorphismes EndK(V).

Au troisième chapitre, après avoir établi un lien entre les involutions sur une algèbre centrale simple et une certaine classe d'idéaux, on traite le critère d'existence d'involutions de première espèce, dû à A. Albert, ainsi que celui de l'existence d'involutions de deuxième espèce (Théorème d'Albert-Riehm-Scharlau).

Puis, au chapitre 4, nous donnons un analogue du théorème de Witt, pour une algèbre centrale simple à involution. Pour cela, on expose une correspondance biunivoque entre les involutions de première espèce sur EndD(V) et les formes å-hermitiennes régulières sur V relativement à une involution sur l'algèbre à division D.

Le discriminant (chapitre 5) et la signature (chapitre 7) d'une involution de première espèce sont largement utilisés comme critères de décomposabilité d'une algèbre à involution. En particulier, Knus, Parimala et Sridharan ont montré qu'avoir un discriminant trivial est une condition nécessaire et suffisante de décomposition d'une algèbre centrale simple de degré 4. Par ailleurs, David. W. Lewis et J.P. Tignol ont montré que toute involution de signature 2 sur une algèbre de degré une puissance de deux et de centre un corps formellement réel, est indécomposable. Au chapitre 6, on donne la définition rationnelle d'une algèbre de Clifford d'une involution dûe à Tits, et le lien entre la conjugaison de deux involutions et leurs algèbres de Clifford. Le dernier chapitre est consacré au cas d'une algèbre à involution sur un corps de caractéristique deux.

ChaPItre 1

Rappel sur les algèbres centrales

simples

Ce chapitre constitue un rappel de certaines définitions et propriétés concernant les algèbres centrales simples dont nous aurons besoin dans ce document.

1.1 Définitions et exemples

Définition 1.1.1 Un module non nul M sur un anneau R est dit simple s'il n'a pas de sous-modules non triviaux. L'anneau R est simple s 'il n'a pas d'idéaux bilatères autre que {0} et R.

Exemples :

1. Soit D un anneau à division (un corps non nécessairement commutatif) :

(i) D est un D-module simple.

(ii) Tout D-espace vectoriel de dimension un est un D-module simple.

2. Z/pZ est un Z-module simple.

3. Tout anneau à division est simple.

Définition 1.1.2 Soit A une algèbre sur un corps F. A est dite simple si A est simple pour sa structure d'anneau.

Exemples :

1. Toute algèbre à division D est simple.

2. Si K est un corps, alors Mn(K) est une algèbre simple. Remarque : Si A est une F-algèbre (F corps) alors F c Z(A).

Définition 1.1.3 Une F-algèbre A est dite centrale si son centre Z(A) = {a E A/a.x = x.a ?x E A} est réduit à F(= F.1).

A est de dimension finie si A est de dimension finie comme étant un F-espace vectoriel. Dans toute la suite, les algèbres considérées seront et de dimension finie sur leurs centres.

Exemples:

1. Mn(F) est une F-algèbre centrale simple de dimension n2.

2. Toute algèbre à division D est centrale simple sur son centre Z(D).

3. Soient a et b deux éléments non nuls d'un corps F et A le F-espace vectoriel de base {1, i, j, k} et muni de la multiplication bilinéaire définie par : i2 = a; j2 = b; ij = -ji = k. A est une F-algèbre centrale simple de dimension 4 , notée (a,b F ) ou (a, b)F et appelée algèbre de quaternions.

4. Si A et B sont des F-algèbres centrales simples, alors leur produit tensoriel A ®F B est une F-algèbre centrale simple. En particulier, Mm(F) ®F Mn(F) Mmn(F).

5. Si A est une F-algèbre centrale simple, alors Mn(A) est une F-algèbre centrale simple et on a: A ®F Mn(F) Mn(A).

Définition 1.1.4 Soit A une F-algèbre. L'algèbre opposée de A notée Aop (ou A°) est A en tant que F-module mais sa multiplication * est définie par a * b = ba pour tout a, b E A.

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