Memoire Online - Invariants d'une algèbre centrale simple à involution

Je tiens à exprimer ma profonde gratitude au professeur Lahcen Oukhtite, pour avoir accepter de diriger ce travail avec toute attention et pour ses orientations fructueuses.

Je remercie le professeur M'hammed Boulagouaz pour ses orientations et son soutien durant tout ce cursus de D.E.S.A.

Je tiens à remercier tous les professeurs de D.E.S.A, »Algèbre Théorie des Nombres et Applications aux Sciences de l'Information». Ainsi que tous mes collègues.

1	Remerciements Introduction Rappel sur les algèbres centrales simples				3 6 8
	1.1	Définitions et exemples			8
	1.2	Théorème de Wedderburn			9
	1.3	Groupe de Brauer			11
	1.4	Algèbre conjuguée - Norme d'une algèbre			12
2	Involution d'une algèbre centrale simple				14
	2.1	Involutions et formes bilinéaires			14
	2.2	Types d'involutions sur une algèbre centrale simple			17
	2.3	Existence d'involutions de première espèce			22
	2.4	Existence d'involutions de deuxième espèce			26
	2.5	Algèbres à involution sur un corps de caractéristique deux			28
3	Les invariants d'une algèbre centrale simple à involution				32
	3.1	Indice de Witt d'une algèbre centrale simple à involution			32
		3.1.1 Involutions et formes hermitiennes			32
		3.1.2 Idéaux d'une algèbre centrale simple			35
		3.1.3 Indice de Witt d'une algèbre centrale simple à involution			36
	3.2	Discriminant d'une involution			38
5				TABLE DES MATIÈRES		38 40
			3.2.1 3.2.2	Discriminant d'une involution orthogonale Application : Algèbre à involution décomposable
3.3			Algèbre de Clifford d'une involution			41
			3.3.1	Algèbre de Clifford d'un espace quadratique		41
			3.3.2	Algèbre de Clifford d'une involution orthogonale		43
			3.3.3	Application : caractérisation des involutions conjuguées		45
3.4			Signature d'une involution			46
			3.4.1	La forme trace d'une involution		46
			3.4.2	La signature d'une involution de première espèce		48
			3.4.3	Application : Involutions indécomposables		49

Introduction

Dans ce document, sauf mention du contraire, tous les corps considérés sont commutatifs et de caractéristique différente de deux.

Le présent travail a pour but de présenter quelques invariants d'une algèbre centrale simple de dimension finie à involution.

Dans le premier chapitre, on rappelle certaines définitions et propriétés concernant les algèbres centrales simples et on cite quelques résultats élémentaires indispensables pour la suite. Les livres de Draxl [3], Pierce [12], Scharlau [13] sont des références générales sur ce sujet.

Le second chapitre est consacré à une correspondance biunivoque entre les involutions de première espèce sur l'algèbre d'endomorphismes EndF(V) et les formes bilinéaires non singulières sur V. Ensuite, on expose la démonstration du résultat qui montre que les involutions de première espèce sur une algèbre centrale simple quelconque sont, après extension des scalaires à un corps neutralisant K, identifiées à des involutions de première espèce sur une algèbre d'endomorphismes EndK(V).

Au troisième chapitre, après avoir établi un lien entre les involutions sur une algèbre centrale simple et une certaine classe d'idéaux, on traite le critère d'existence d'involutions de première espèce, dû à A. Albert, ainsi que celui de l'existence d'involutions de deuxième espèce (Théorème d'Albert-Riehm-Scharlau).

Puis, au chapitre 4, nous donnons un analogue du théorème de Witt, pour une algèbre centrale simple à involution. Pour cela, on expose une correspondance biunivoque entre les involutions de première espèce sur EndD(V) et les formes å-hermitiennes régulières sur V relativement à une involution sur l'algèbre à division D.

Le discriminant (chapitre 5) et la signature (chapitre 7) d'une involution de première espèce sont largement utilisés comme critères de décomposabilité d'une algèbre à involution. En particulier, Knus, Parimala et Sridharan ont montré qu'avoir un discriminant trivial est une condition nécessaire et suffisante de décomposition d'une algèbre centrale simple de degré 4. Par ailleurs, David. W. Lewis et J.P. Tignol ont montré que toute involution de signature 2 sur une algèbre de degré une puissance de deux et de centre un corps formellement réel, est indécomposable. Au chapitre 6, on donne la définition rationnelle d'une algèbre de Clifford d'une involution dûe à Tits, et le lien entre la conjugaison de deux involutions et leurs algèbres de Clifford. Le dernier chapitre est consacré au cas d'une algèbre à involution sur un corps de caractéristique deux.

Ce chapitre constitue un rappel de certaines définitions et propriétés concernant les algèbres centrales simples dont nous aurons besoin dans ce document.

1.1 Définitions et exemples

Définition 1.1.1 Un module non nul M sur un anneau R est dit simple s'il n'a pas de sous-modules non triviaux. L'anneau R est simple s 'il n'a pas d'idéaux bilatères autre que {0} et R.

Définition 1.1.2 Soit A une algèbre sur un corps F. A est dite simple si A est simple pour sa structure d'anneau.

Définition 1.1.3 Une F-algèbre A est dite centrale si son centre Z(A) = {a E A/a.x = x.a ?x E A} est réduit à F(= F.1).

A est de dimension finie si A est de dimension finie comme étant un F-espace vectoriel. Dans toute la suite, les algèbres considérées seront et de dimension finie sur leurs centres.

Définition 1.1.4 Soit A une F-algèbre. L'algèbre opposée de A notée A^op (ou A^°) est A en tant que F-module mais sa multiplication * est définie par a * b = ba pour tout a, b E A.