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Invariants d'une algèbre centrale simple à  involution

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par Jamal Nafie
Université Sidi Mohamed Ben Abdellah Faculté des Sciences et Techniques de Fès - DESA 2008
  

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1.2 Théorème de Wedderburn

La structure des algèbres simples centrales est entièrement déterminée par le théorème de Wedderburn :

Théorème 1.2.1 Soit A une F-algèbre . Les conditions suivantes sont éequivalentes :

1. A est centrale simple.

2. L'application ? : A ®F Aop -p EndF(A) déefinie par: ?(a ® bop)(x) = axb est un isomorphisme.

3. Il existe une extension K de F telle que A ®F K Mn(K).

4. Si est un corps algéebriquement clos contenant F alors A ®F Mn() pour un entier n.

5. Il existe une algèbre à division D centrale de dimension finie sur F et un entier r tels que A Mr(D).

De plus, si l'une de ces conditions est satisfaite, tous les A-modules à gauche (ou à droite) simples sont isomorphes et l'algèbre à division D de l'assertion (5) est uniquement déeterminéee à un isomorphisme près par D = EndA(M) uou M déesigne un A-module à gauche simple.

Preuve : Voir [6, Theorem 1.1, page 3].

 

Remarques:

(i) Tout corps vérifiant l'assertion (3) du théorème précédent est appelé corps déployant de A (ou neutralisant pour A). Lorsque A Mn(F), on dit que l'algèbre A est déployée.

(ii) D'après Kôthe , toute F-algèbre simple centrale possède un corps déployant K tel que K/F soit une extension finie galoisienne (voir[3, §9, page 64]).

(iii) Du fait que la dimension d'une algèbre ne change pas par extension des scalaires et compte tenu de l'assertion (3) du théorème précédent, on déduit que la dimension de toute algèbre simple centrale sur son centre est le carré d'un entier naturel n : cet entier est appelé degré de A et noté degA.

(iv) Le degré de l'algèbre à division D de l'assertion (5) est appelé indice (de Schur) de A et noté indA.

Théorème 1.2.2 (Théeorème du Double Centralisateur) Soient A une F-algèbre centrale
simple et B une sous algèbre de A. Le centralisateur, CA
(B) = {b E B/b.x = x.b ?x E A},

de B dans A est une sous algèbre simple de A et on a : dimFA = dimFB.dimFCA(B) et CA(CA(B)) = B. En outre, Si Z(B) = F, alors A est canoniquement isomorphe àB?CA(B).

Preuve : Voir ([12, Chapitre 12, §7, Theorem, page 232]). Nous utiliserons souvent le théorème suivant :

Théorème 1.2.3 (Théorème de Skolem-Noether) Soient A une F-algèbre simple centrale de dimension finie et B une sous-algèbre simple de A. Alors, pour tout homomorphisme de F-algèbres f : B -? A, il existe u E A inversible tel que f(y) = uyu-1 ?y E B.

En particulier, tout automorphisme de F-algèbres de A est un automorphisme intérieur.

Preuve : Voir ([12, Chapitre 12, §6, page 230]).

 

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