Influence de la dispersion aléatoire faible sur la transmission par solitons et du mélange à quatre ondes dans les fibres optiques

Annexe 1

1.1 O b tention du systseme d 'équations (2.10)

2

? z

2

?

F a F

aY)

2

x

2

F

+ ~

W

~

W

+ ( k0 ² E -₁3₀² )F

a

a

0

=

F

~

W

2

+

i/i0

~

aW

az

~2 ₂ ) e

az az

+W

az + k ² E FWe^iAz

0

a2 _F a² FA₄₇~ Az + F a aW eifl0 z~ae 4z

x

a

y

a2 _F a² F

_a 2_/7_/7

+ e i Az + F +24F - FT/VA² e ^iAz + k ⁰² E FIVe^iAz

ax ² ay² az ² az

O n simplifie p ar e ^iAz et on divise p ar W on obtient :

~ ~

~

a

0

=

0

=

~ ~ =

~

2

~

3

2 n ₂F

W

~F a2W ~ F avf⁷

² 2k 0 + iflo

az² W az

0 ( 2.10.b)

O n identifie les deux me mbres de cette derniere relation a 0 pour trouver une solution compatible a l'équation (2.1.8) ' ce qui nous mene au systeme :

~ ? ? ~

2 2

F F

~ + ~ +

~ ? ? ~

2 2

x y

(k 0 2 ( 1 + e) ( 0)- ₁3₀²)F = 0 (2.10.a)

~

2

1 + -1( ¹⁾( 0+

2

?2 0

+

F

2n₂

W

k ²

0

~~ ~

~~ ~

~ ~~ F

a

~ ~~

a

~ ~

~F ? 2 W F ? W ~

~ ~ + 2 ~

i ? ~

2 0

~ W ? z W ? z ~

F a F

aY)

x

2

2

x

2

2

F a²F

? y 2 ~

+( k( 1 +,f( 1 )( 0)- x)F

~ ~

~ F ? 2 WF ? W ~

~ ~ + 2 ~

i ? ~

2 0

~ W ? z W ? z ~

a

~

2

3

W

F

2n₂

k ²

0

=

a

za

1.2 O b tention de l'équation (2.23)

gmax

g z g

0 a - ?

2 z ink z 0

a

= ~ ×

e = ~

e dz

0 z 0

a a

~

za

z

~

~~

0

( ) g

2 1

- ?+ ink z 0 ( 2 ink )

a a

e dz =
· e - ?+

~~

z - ? +

2 ink

a a

2rz

1 1

[ ( - ?+ ) ] ? z

a 2 ink z a

a a [ ]

z a × × × e 1 = e - ?

2

g max gmax

-

- × × - 1

z a

e z a

- ?

1

-

2 n = 0 a

2 ? ni z

e - ?

2 ?

+

z_a

2

1 - - ? +

z i ? n

a

?

z a

×

2 ? z a

1

e

-

rz _a-iAn

[ a ]

2 z

e - ?

1

× -

g max

rz_a

rz _a-ing

( 2.23)

1. 3 Obtention de l'équation (2.26)

[ ( ) ( ) ] [

A

im im im

im

f e if m e

+ + f e ifm e

+ ]

z z t t t

2

iA

im

0

=

+ A³ f e

3

~ifz - fmz+

1 2

^2( f tt + 2Y^.t mt -fm ) + A^2 f 3 = t

~ ~~

~~

~

2

1

0

=

m t

f _z + f_t

-

fm + 1 ftt

z

fm_t² + A² f 3 = 0

O n p eut considérer cette forme d e m ( z , t) : m ( z , t ) = c₁z + c ₂t

~

~
~~

~~

f_z +c₂ f_t

c₁

f + 2ftt

=

0

-

2

c₂

2

f

+

A2 f

3 =

0

?

az as

a a

=; ;la apre miire erelation ns'écriraa t t as

Posons s = t - 52z + T

a =

a

donc : - 52f_s + c₂ f_s = 0 c₂ - 52 = 0 ;croil c₂ =

1 g-12

+ 2 ^fss- 2 f + _A2 f3 =0 f _ss- (2 c ₁ + n² ) f + 2A² f ³ =0.

N ous voulons co mme solution des solitons de typ es sech_' alors on prend f = sec h(c ₃s)

sinh ( c₃s)

cosh ² ( )

c s

3

cosh ³ ( c₃ s )- 2 sinh ² ( c₃ s ) cosh( c₃s)

cosh 4 ( )

c s

₃ )

^1---sinhk

cosh

2( c3s)i

3( c3s))

=

fs

c₃

=

~

_c2

3

fss

=

-

c^2Z₃

² ( c₃s ) c [ h ( c s ) h ( c s ) ] c [ f f]

2 3 2 3

= - 2 sec - sec = - 2 -

3 3 3 3

2 - cosh

cosh 3 ( c₃s)

=

_c2

3

fss

Doncfinale mentt la relation f_ss, ---(2 c₁ 1++ ²) ff++2A^{2 2}f f³³== 0 deviendra :2 + - + ? +

2 ( 2 ) 2

2

- f A f

2 3

c f c f c

2 3 = 0

3 3 1 0

i

[- --224f f^{3 3}+ +2A² 2ff33==00C e equi ip ermet tde efaire eles séquivalences ssuivantes s:: 4f f- --(2 c₁₁++5²) ff==00 ~ c 3 = A '

2 ² , on prendra c₃ = A ; la seconde relation conduit a A² ---2 c1₁--- 5²²==0o

Doncc ₁ 1= =₂₂¹ 1( A^{2 2}--- 5²²) ). .C e equi ip ermet tdonc cd 'écrire eque e::

=

sec

f

h( c ₃s) = sec h( As ) = sec h[ A (t - 52z + T)]

m = c1 z + c2

^1 ( ) 2 = - ? 2 t A z 2

+ Elt

Nous p ouvons donc ecrire que la forme des solutions solitons a l'equation modèle de Schrodinger non lineaire (S NL) (2.25) est :

u ( z , t ) = Af ( z , t)exp [ im ( z , t)]
u ( z , t ) = Af ( z , t)exp [ im ( z , t)]

A sec h [A ( t -Cz + T) ]exp [i ( A ² -51²) z exp ( i nt)

= A sec h [A ( t -Cz + T) ]exp [i ( A ² -51²) z exp ( i nt) (2.26)

(2.26)

=

1.4 Obtention du système (2.29)
1.4 Obtention du système (2.29)

(u ₁ +u ₂ + u ₁₁₂ + u₂₂₁ ) z 2 + (u₁ +u ₂ + u ₁₁₂ + u₂₂₁ ) _tt +g( z )u ₁ +u ₂ + u ₁₁₂ + u 221 2( u₁ +u ₂ + u ₁₁₂ + u₂₂₁ )

1

0

i

=

1

( u u u

+ + + u ) (

+ u u u

+ + + u ) ( ) (

+ g z u u u u

[ + + + )

1 , z 2 , z 1 1 2 , z 22 1 , z 1 , tt 2 , tt 1 1 2 , tt 22 1, tt 1 2 112 221

2

×

( u₁ +u ₂ + u ₁₁₂ + u ₂₂₁ ) *]u+u ₂ + u ₁₁₂ + u₂₂₁ )

0

=

( u u u

+ + + u ) (

1

+ u u u

+ + + u ) ( )

+ g z [

1 , z 2 , z 1 1 2 , z 22 1 , z 1 , tt 2 , tt 1 1 2 , tt 22 1, tt

2

2

u *

1

*

+ _u112u1 + u

u *

1

+u

+

u 1

2

221

2

2

_u*

2

*

+ u112u 2 +u

_u*

2

*

*

+u

+u

u ₁₁₂ + _u2u112 + u

+u

221u 112 u1u221

u 2

1

221

112

2

(u₁ + u ₂ + u ₁₁₂ + u221) = 0

*

*

]

+ u₁₁₂ u ₂₂₁ + u

u₂

u 221

221

O n d oit co mpte tenu du fait que u FWM << u soliton ' négliger dans le d ernier facteur ci - dessus

uFWM . Ce qui revient à avoir :

( u u

+ + + u ) (

1 2

u + u u

+ + u + u ) ( )

+ g z u

[

1, z 2 , z 1 1 2, z 22 1, z 1 , tt 2 , tt 1 1 2 , tt 22 1 , tt

2

u *

1

*

+u112u 1 +u

u *

1

+u

+

1

2

221

2

2

_u*

2

*

+ u112u 2 + u

_u*

2

*

*

*

+u

+u

+ u2u ₁₁₂ + u ₁₁₂ +u

+ u

u+

1221

u 2

u 112

1u112

1

221

221

2

( u ₁ + u₂) =0

*

*

]

+ u112u 221 + u

u 221

u₂

221

~ (+ + + u ) (

1

i u u u + u u

+ + u + u ) ( )

+ g z u

[

1 , z 2 , z 1 1 2 , z 22 1 , z 1 , tt 2 , tt 1 1 2 , tt 22 1 , tt 1

2

2

2

2

+u

+

+u

u₁

u₂

u 1

112

1

2

2

u u ₂ +u

u u

*

2 1

*

*

2

1

2 1

u ₂ u1

+ u

+u

+u

+ u u u +

1 2 112

u₁

u 1

u 112

u221

2

112

221

2

2

2

* + u2u * u

1 221 +

*

1u ₂ u ₂₂₁ + u1u 112 u221 + u

+u

+ u

+

u₁

u 221u112

u 221

u112

u₂

1

1

1

2

2

2

2

u ² 2

u *

1

*

1

*

+u

+ u1u2u 221 + u

+u

u 2 +u112 u2+u

+ u

u 2

u 112

u 2

u 2

u 112

u₂

2

1

221

1

2

2

+ u _2u1*12 + u 2

* 2

221u 112u 2 + u1u ₂ u ₂₂₁ + u₂

*

*

] =0

+u

+ u221u 112u 2 + u

u 221

u 2

u₂

112

221

En simplifiant encore par rapport aux termes FWM négligeables (les termes non linéaires en

u1 1 2 et u 22 1 ) :

2

i u u u

( + + + u ) (

1

+ u u

+ + u + u ) ( ) (

+ g z u u

[ + 2 u

1 , z 2 , z 1 1 2 , z 22 1, z 1 , tt 2 , tt 1 1 2 , tt 22 1, tt 1 1 2

2

²)

2

+ u u u

* +

1 2

_u*

2

2 1

2 2

u

( 2

+ u

2 2 )1

2

2

]=0

+u

+u

+u

+u

+u

u₁

u₁

112

2

221

2

C e qui conduit au système :

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

+ + ~ =

2

u u u u

2 *

1 2 1 2 ~

~ = 0

~

) 0 2.2

= ( )

9.b

1 2

iu _1z + u 1 tt + u + 2 u 2 2) = 0

2

2 2

1

u₁

iu 2, z + u 2, tt + g ( z ) u ₂ ( u₂ + 2

2

1

iu + u + ~

g z u

( )

112, z 112, tt ~ 112

2

1 2 * 2

iu + + ~ + +

u g z u u u u u

( )

221, z 221, tt ~ 221 1 2 1 2

2

( 2.29.a)

0 2.29.c

( )

( 2.29.d)