2.1.1.2. Objectifs de commande
L'objectif de commande est de concevoir un correcteur ( ) qui
rend
( ) , ( ) et ( ) ( ) le plus faible possible, tout en assurant la
stabilité interne du
système bouclé.
Compte tenue du sens donné à ( ) et ( ) , il est
clair que lorsqu'en effectue la synthèse du correcteur ( ) on doit
chercher à :
· rendre ( ) le plus faible possible afin de réduire
l'influence des perturbations et d'assurer un bon suivi de consigne.
· rendre ( ) le plus faible possible afin de réduire
l'influence des bruits de mesure.
rendre ( ) ( ) le plus faible possible afin de réduire
l'effort de commande.
·
Le système en boucle fermée devra donc satisfaire
un certain nombre de spécification sur les
différents
transferts caractérisant le système. Ces transferts étant
liés, notamment à travers la
relation ( ) + ( ) = , il faudra donc établir un compromis
entre ces spécifications.
En effet, du fait de la contrainte ( ) + ( ) = , il est
impossible de rendre faible
simultanément ( ) et ( ) .
Cependant, Les perturbations sont des signaux qui agissent en
basses fréquences et le bruit en
haut fréquence. Il est donc possible de concevoir un
correcteur ( ) qui rend faible ( ) en basse fréquence et ( ) en haute
fréquence.
( )
- Comportements de ( )
Ces deux matrices de sensibilité s'expriment uniquement en
fonction de la matrice de transfert
de la boucle ouverte ( ), définie par:
( ) = ( ) ( ) (2.4)
Dans les zones où la boucle ouverte présente un
gain élevé, ce qui se produit en général aux
basses fréquences, ( ) ) ( ) ( ) .
Réciproquement, dans les zones où la boucle ouverte
présente un gain faible, ce qui se produit
en général aux hautes fréquences, ( ) et ( )
( ) ( ).
2.1.2. Stabilité nominale [8]
Soit le système bouclé de la figure 2.2, où
G(s) représente la matrice de transfert d'un système
multivariable de dimension x , et ( ) le correcteur de dimension
x ; et sont
respectivement la référence et la sortie
reçue du système bouclé.
+
( )
( )
-
Figure 2.2 - Schéma bloc pour l'étude de la
stabilité nominale
2.1.2.1. Critère de Nyquist (cas multivariable)
Le critère de Nyquist est un critère graphique
qui permet de ramener l'étude de la stabilité d'un système
en boucle fermée à l'étude de certaines
caractéristiques de la réponse fréquentielle de la
fonction ou matrice de transfert en boucle ouverte.
( )
+
-
Figure 2.3 - Bouclage d'une matrice de transfert ( )
( ) = ( ) ( ) est le transfert en boucle ouverte, supposée
strictement propre ( ( )
est matrice carrée de dimension ).
Pour appliquer correctement le critère de Nyquist, il faut
s'assurer qu'il n'y ait pas de simplification pôle/zéros instables
dans la chaine d'asservissement (modes cachés).
Théorème 2.1 : (critère de
Nyquist multivariable) - dans le cas où la matrice de fonctions
de
transfert ( ) ne possède pas de pôles imaginaires purs, le
système bouclé multivariable
(figure 2.3) est stable si et
seulement si l'image du contour d'exclusion (figure 2.4) de
Nyquist par det + ( ) encercle l'origine (dans le sens inverse
des aiguilles d'une
montre) un nombre de fois égale au nombre de pôles
instables de ( ).
( ) ( )
( ) det + ( ) ( )
Figure 2.4 - Critère de Nyquist multivariable
Contrairement à ce que suggère
l'énoncé du critère de Nyquist, son principal
intérêt n'est pas, en général, de vérifier
à partir de la boucle ouverte si le système en boucle
fermée correspondant est stable ou non. On peut en effet aisément
déterminer si le système en boucle fermée est stable en
calculant ses pôles. L'intérêt du critère de Nyquist
est autre et double. Dans le contexte de la recherche d'un correcteur qui
stabilise un système , le critère de Nyquist appliqué
à = permet de choisir graphiquement de façon à assurer la
stabilité du système bouclé. L`autre grande application
est d'étudier pour un système bouclé stable ses marges de
stabilité (marges de phase et de gain).
L'application du critère de Nyquist est complexe. En
pratique, on utilise le plus souvent la méthode dite du faible gain.
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