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Contrôle actif robuste d'une structure flexible

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par Lyes et Mohamed HADJOU et BELHOCINE
Mouloud MAMMERI Tizi-Ouzou - Master en automatique 2010
  

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2.1.2.2. Théorème du faible gain [14]

Supposons que ( ) et ( ) ont tous les pôles à partie réelle négative, alors le système

bouclé de transmittance en boucle ouverte ( ) = ( ) ( ) est stable si ? ?8 < 1.

Ou bien si : V JZ )

Où valeur singulière maximale de ( ) calculée à la pulsation

 

2.2. Notions de robustesse

La mise en équation d'un processus physique nécessite des approximations, d'où résultent par conséquent des incertitudes de modèle. De plus la synthèse du correcteur fait généralement appel à un modèle simplifié, dans lequel sont, par exemple négligées les dynamiques hautes fréquences du système, celles des capteurs ou actionneurs, d'éventuels retards purs...etc. Enfin, les paramètres du modèle ainsi obtenus sont plus au moins entachés d'incertitudes.

On dit qu'une propriété du système asservi est robuste si cette propriété est garantie malgré la présence d'incertitudes. En particulier, on cherchera au moins à assurer au système asservi la robustesse de la stabilité. Une exigence plus importante consiste à garantir la robustesse d'une performance (telle que le taux de rejet d'une perturbation par exemple).

2.2.1. Incertitudes de modèle [4]

On ne peut parler de robustesse que par rapport à un objectif donné et aux types d'incertitudes considérées. Dans le cadre linéaire, celles-ci sont généralement regroupées en deux classes:

1' Incertitudes non-structurées:

Elles représentent les incertitudes influant sur le système mais pour lesquelles aucune information structurelle n'est disponible. Elles peuvent traduire par exemple des phénomènes hautes fréquences comme des dynamiques négligées dans un modèle (incertitudes dynamiques).

1' Incertitudes structurées :

Elles représentent des incertitudes dont on peut déterminer l'influence sur la structure du système étudié. Elles peuvent traduire des phénomènes basses fréquences comme des variations paramétriques dues à l'usure du système (incertitudes paramétriques).

Une représentation générale d'un système soumis à des incertitudes de modèle est donnée sur la figure 2.5.

?( )

( )

Figure 2.5 - Représentation généralisée des incertitudes de modélisation

Toutes les incertitudes de modèle sont rassemblées dans la matrice L( ). La matrice de
transfert ( ) modélise les interconnexions entre les entrées , les sorties , et les signaux

et qui permettent de faire intervenir les incertitudes.

En écrivant les relations entre les déférents signaux :

( ) = ( ) ( ) + ( ) ( )

( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) (2.5)

( ) = i( ) ( )

On calcul le transfert entre et :

33

L'expression (2.6) est appelée une Transformation Fractionnaire Linéaire LFT. Elle est

notée ,i(s)

Pour écrire l'expression (2.6), il faut que la matrice ( )L( ) inversible pour

presque tout .

L'étude de la robustesse consiste à chercher à garantir une propriété particulière (par exemple la stabilité) pour un ensemble d'incertitudes L( ). On peut imaginer 2 degrés de complexité différents pour aborder ce problème :

- Soit en ignore la structure de i ( ), en cherchant simplement quelle est la plus grande

valeur admissible de sa norme. L'outil adéquat pour traiter le problème de cette façon est la norme 8.

- Soit on prend compte de la structure de L( ), ce qui conduit à des résultats plus

précis. Il faut pour cela définir un nouvel outil : la valeur singulière structurée.

Remarque :

Si la propreté qu'on cherche à garantir est la stabilité, et si par hypothèse ( ) et L( ) sont
stable, la seul source d'instabilité provient du bouclage par L( ), et il est donc équivalent

d'étudier la stabilité du système de la figure 2.6, avec ( ) = ( ).

i( )

( )

Figure 2.6 - Schéma d'analyse de la robustesse de la stabilité

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"En amour, en art, en politique, il faut nous arranger pour que notre légèreté pèse lourd dans la balance."   Sacha Guitry