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Contrôle actif robuste d'une structure flexible

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par Lyes et Mohamed HADJOU et BELHOCINE
Mouloud MAMMERI Tizi-Ouzou - Master en automatique 2010
  

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4.1.3. Formulation du problème 8[6, 3]

Toute méthodologie de commande avancée consiste à trouver un régulateur ( ) qui permet de contrôler efficacement le système, de telle sorte que le système en boucle fermée ait de bonnes propriétés de performances et de robustesse.

Sous sa forme la plus simple, le problème 8 est un problème de réjection de perturbations. A partir du système exprimé sous la forme standard de la figure (4.1), il consiste à minimiser l'effet d'une perturbation sur le comportement du système. Son effet sur le système est mesuré par la norme du vecteur de sortie (sorties à contrôler), sachant que l'on peut agir sur le système par une commande (éléments actifs) et que l'on dispose d'une observation (mesures

disponibles). Il s'agit donc de synthétiser une loi de commande = ( ) qui minimise

l'impacte de sur . On mesurera cet impacte par le rapport . La stabilité interne du

système devra bien sûr être assurée.

( )

( )

Figure 4.1- Problème 8 standard

La matrice de transfert ( ) modélise les interactions dynamiques entre deux ensembles

d'entrées et deux ensembles de sorties, tendis que ( ) désigne le correcteur que l'on cherche à calculer.

Le système (plant) admet pour équation d'état :

?( ) = ( ) + ( ) + ( )

?( ) = ( ) + ( ) + ( ) (4.8)

( ) = ( ) + ( ) + ( )

Comme le système ( ) a deux entrées et deux sorties, il peut être partitionné de la manière suivante :

( ) =

( ) ( )

( ) ( )

(4.9)

Dans le domaine de Laplace, les équations du système dynamique se réécrivent :

( )

t ( ) = ( ) ( ) (4.10)

( )

Ainsi, la matrice de transfert entre et du système bouclé est donné par la Transformation Linéaire Fractionnelle (LFT) :

( ) = ( , ) ( ) (4.11)

( , ) = ( ) + ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) (4.12)

Le problème décrit ci-dessus peut se formuler mathématiquement comme suite:

63

? Etant donné > 0, existe-il un une loi de commande ( ) telle que :

1. Le système bouclé figure (4.1) soit stable de manière interne (c.-à-d. tous les pôles
du système bouclé sont à partie réelle strictement négative).

2.

( , )?00 < .

Assure

Le correcteur permettant d'atteindre la plus petite valeur de sera dit optimal. Cette valeur minimale, notée , peut être approchée par dichotomie.

En pratique, le système généralisé (dit augmenté) est en faite constitué du système étudié ( )

et des pondérations fréquentielles ( ) et ( ) associé respectivement aux entrées

exogènes et aux sorties contrôlées , représentant les spécifications de performance. Soit :

( )

( )

( )

( )

( )

Figure 4.2 - problème 00 standard incluant les pondérations

Ces pondérations en fréquences permettent de privilégier certains transferts pour certains domaines fréquentiels.

Deux approches peuvent être envisagées pour résoudre le problème 00 standard. La première approche est fondée sur la résolution des équations de Riccati. Elle est aussi connue sous le nom de l'algorithme de Glover-Doyle ou -itérations, apparue à la fin des années 80. C'est la solution la plus simple et la plus fiable numériquement. Une deuxième solution de ce problème de commande 00 peut être aussi utilisée, elle est basée sur la résolution d'un problème d'optimisation convexe sous contraintes d'inégalités matricielles linéaires (LMI). Nous présentons ci-dessous l'approche par équations de Riccati.

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