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Contrôle actif robuste d'une structure flexible

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par Lyes et Mohamed HADJOU et BELHOCINE
Mouloud MAMMERI Tizi-Ouzou - Master en automatique 2010
  

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Chapitre IV

Synthese H_00

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Dans ce chapitre, nous allons décrire la synthèse 8 standard en présentant les outils nécessaires à cette approche (les valeurs singulières d'une matrice de transfert, la norme infinie d'un système linéaire), la notion de problème standard et enfin nous présentons une méthode de résolution par équations de Riccati. Différentes simulations ont été réalisées et commentées en fin de ce chapitre.

4.1. Introduction

4.1.1. La Synthèse 8

La synthèse 8 propose un cadre général pour le calcul d'un correcteur, en manipulant des concepts fréquentiels. Elle permet de prendre en compte des objectifs de stabilité, de marges de stabilité et de modelage de différents transfert, voir certains objectifs de robustesse, en retour dynamique de sortie. Une vision plus réaliste est de considérer cette approche comme une façon particulière de calculer un correcteur, sans que toutes les demandes de performance et de robustesse soient prises en compte a priori.

La recherche de la loi de commande du correcteur se fera algorithmiquement par la résolution du problème d'optimisation (minimisation de la norme 8 d'un critère mathématique). La tache de l'automaticien sera donc d'établir le critère mathématique qui reflète au mieux le cahier des charges.

4.1.2. Outils de calcul nécessaire à la synthèse 8 [4]

a) Valeurs singulière d'une matrice de transfert

Considérons un système linéaire invariant avec un vecteur d'entrée ( ) et de sortie ( ) de
dimension respectivement et . Soit ( ) sa matrice de transfert. En réponse à une excitation

harmonique ( ) = , la sortie du système s'écrit :

( ) = ( ) (4.1)

Chapitre IV synthèse

 

Pour un système monovariable, on définit à partir de cette relation le gain du système à la

pulsation par le module I ( )I. Dans le cas multivariables, on utilise la notion de valeurs

singulières, elles constituent une généralisation de la notion de gain et définies comme étant les racines carrée des valeurs propres positives de ( ) multipliée par sa tansconjuguée :

) ( (-- ) ) ( ) = ( )( (-- ) ) , = 1, min ( , ) (4.2)

Où est la é valeur propre.

On notera ) grande valeur singulière et ( ( )) la plus petite :

) ) ) ) (4.3)

Remarque : Pour un système monovariable, il n'existe qu'une valeur singulière, qui est donnée par:

) ) )I (4.4)

b) Norme 8 d'un système linéaire invariant

Soit le système linéaire invariant décrit par la représentation d'état :

( ) = ( ) + ( ) (4.5)

( ) = ( ) + ( )

De matrice de transfert ( ) = ( - ) + . Nous posons l'hypothèse que le système est

stable. L'ensemble des matrices de transfert ( ) correspondant à un système stable est noté usuellement R 8.

Pour toute matrice ( ) dans R , on définit une norme notée I ( )I, et qui est appelée

norme 8. Celle-ci est calculée de la manière suivante :

I ( )IL = ))| R (4.6)

La norme ( ) est donc la valeur la plus élevée du gain du système sur l'ensemble des
pulsations . Sur la base de la définition (4.6), on peut facilement obtenir une borne inférieure de

( )?8 en cherchant la valeur la plus élevé du 2ême membre de l'équation (4.6) pour un ensemble de valeurs de choisies a priori. Mais si celui-ci présente un maximum très »pointu», on risque de sous évaluer la norme 8.

La propriété suivante fournit un majorant de la norme , :

Propriété 4.1 : soit un réel positif > ( ). Alors ( )?8 < si et seulement si la matrice

Hamiltonienne :

= -

= -

-

=

-

(4.7)

n'a pas de valeur propre sur l'axe imaginaire.

Pour déterminer la norme 8 du système, il suffit alors de rechercher le plus petit tel

que ( )?8 < . Pour cela on peut effectuer une recherche linéaire sur le paramètre en

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faisant par exemple une approche par dichotomie.

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"Il existe une chose plus puissante que toutes les armées du monde, c'est une idée dont l'heure est venue"   Victor Hugo