3.4 Exemple illustratif sur les techniques de
troncature par l'augmentation linéaire
Soit P = (P(i,j))i,j>1, une matrice stochastique infinie,
irréductible et récurrente positive. Elle admet donc une
distribution stationnaire unique ðn = (ðn(j))j>1.
?
? ? ? ? ? ?
P=
.
?
??????
p11 p12 p13 p14 . . . p21 p22 p23 p24 . . . p31 p32 p33 p34 .
. . p41 p42 p43 p44 . . . ... ... ... ... ...
Exemple pour m = 4
Considérons » le Coin Nord-Ouest» d'ordre 4 de
la matrice P qui est donnée par:
T4 = (P(i,j))4>i,j>1.
?
???
T4 =
,
?
???
p11 p12 p13 p14 p21 p22 p23 p24 p31 p32 p33 p34 p41 p42 p43
p44
P étant irréductible, il existe au moins une ligne
i pour laquelle 4 j=1 pij < 1, alors la matrice tronquée T4 n'est pas
stochastique.
Afin de rendre la matrice T4 stochastique, on construit une
nouvelle matrice stochastique (P4(i, j))4>i,j>1
vérifiant P4 = T4 c'est a` dire P4(i, j) > P(i, j) pour 1 i, j 4.
Cela peut se faire de plusieurs facons. La masse de
probabilités perdue lors de la troncature de
P est redistribuésur les colonnes de T4.
Soit A4 une matrice stochastique quelconque,
A4 = (á4(i,j))1<i,j<4,
4
|
telle que
|
P
j=1
|
áij = 1, i.e.
|
á11 + á12 + á13 + á14 = 1;
á21 + á22 + á23 + á24 = 1; á31 +
á32 + á33 + á34 = 1; á41 + á42 +
á43 + á44 = 1.
L'estimation de la masse perdue dans chaque ligne est obtenue par
Ek>4 P(i, k). Pour notre exemple :
X Xp1k = (á11 + á12 + á13 +
á14) p1k,
k>4 k>4
Donc,
P p1k = á11 E p1k + á12 E p1k +
á13 E p1k + á14 E p1k. k>4 k>4 k>4 k>4 k>4
P p2k = á21 E p2k + á22 E p2k +
á23 E p2k + á24 E p2k. k>4 k>4 k>4 k>4 k>4
P p3k = á31 E p3k + á32 E p3k +
á33 E p3k + á34 E p3k. k>4 k>4 k>4 k>4 k>4
|
P
k>4
|
p4k = á41 E
k>4
|
p4k + á42 E
k>4
|
p4k + á43 E
k>4
|
p4k + á44 E
k>4
|
p4k.
|
On construit notre nouvelle matrice et pour cela on pose pour 1
< i, j < 4,
P4(i,j) = P(i,j) + á4(i,j)E pik.
k>4
|
Posons s(i,k) = E
k>4
|
pik, et P4 s'écrit :
|
?
???
P4 =
|
p11 + á11s(1,k) p12 + á12s(1,k) p13 +
á13s(1,k) p14 + á14s(1,k) p21 + á21s(2,k) p22 +
á22s(2,k) p23 + á23s(2,k) p24 + á24s(2,k) p31 +
á31s(3,k) p32 + á32s(3,k) p33 + á33s(3,k) p34 +
á34s(3,k) p41 + á41s(4,k) p42 + á42s(4,k) p43 +
á43s(4,k) p44 + á44s(4,k)
|
?
? ? .
?
|
|
Xp11 + p12 + p13 + p14 + (á11 + á12 + á13 +
á14)
k>4
|
p1k = p11 + p12 + p13 + p14
+E
k>4
|
p1k,
|
o`u, (á11 + á12 + á13 + á14) = 1.
En particulier, on obtient A4 par les techniques d'augmentation
linéaire qu'on a déjàcite dans la section
(3.2), et on commence par :
* L'augmentation de la première colonne(voirles travaux de
Kalashnikov et Rachev [27]).
Si et seulement si á4(i, 1) = 1 pour 1 < i < 4;
Alors A4, s'écrit sous la forme :
,
|
?
|
1
|
0
|
0
|
0
|
?
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
|
|
A4 = ???
|
1
|
0
|
0
|
0
|
???
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
|
et la matrice p4 est donnée comme suit :
|
P4 =
|
?
???????
|
p11 + P
k>4
p21 + P
k>4
p31 +
P
k>4
p41 + P
k>4
|
p1k p12 p13 p14 p2k p22 p23 p24 p3k p32 p33 p34 p4k p42 p43
p44
|
?
???????
|
.
|
* L'augmentation de la dernière colonne [51], si et
seulement si á4(i, 4) = 1 pour 1 < i < 4 ;
Alors,
,
|
?
|
0
|
0
|
0
|
1
|
?
|
|
0
|
0
|
0
|
1
|
|
|
A4 = ???
|
0
|
0
|
0
|
1
|
???
|
|
0
|
0
|
0
|
1
|
|
|
et P4 sera donnée comme suit :
p11
?
p21
P4 =
???????
p31
p41
|
p12 p22 p32 p42
|
p13 p23 p33 p43
|
p14 + P p1k
k>4 ?
p24 + P p2k
k>4
.
???????
p34 + P p3k
k>4
p44 + P p4k
k>4
|
|
* L'augmentation uniforme : dans ce cas la matrice A4 est
construite de sorte que
|
|
toutes les composantes á4(i, j) = 1 4pour 1
|
i, j
|
4.
|
|
|
1/4 1/4
?
|
1/4
|
1/4
|
?
|
|
1/4 1/4
|
1/4
|
1/4
|
|
|
A4 = ??? 1/4 1/4
1/4 1/4
|
1/4
1/4
|
1/4
1/4
|
??? ,
|
et P4 sera donnée sous la forme:
?
???
P4 =
|
p11 + 1 4s(1,k) p12 + 1 4s(1,k) p13 + 1 4s(1,k) p14 + 14s(1,k)
p21 + 1 4s(2,k) p22 + 1 4s(2,k) p23 + 1 4s(2,k) p24 + 14s(2,k) p31 + 1 4s(3,k)
p32 + 1 4s(3,k) p33 + 1 4s(3,k) p34 +1 4s(3,k) p41 + 1 4s(4,k) p42 + 1 4s(4,k)
p43 + 1 4s(4,k) p44 + 1 4s(4,k)
|
?
? ? .
?
|
* On peut aussi considérer que A comme étant une
matrice dont toutes les lignes sont identiques, c'est un cas
considérépar Gibson et Seneta[11].
Dans ce cas;
|
A4 =
|
?
???
|
á11 á22 á33 á44 á11
á22 á33 á44 á11 á22 á33 á44
á11 á22 á33 á44
|
?
???
|
,
|
avec; á11 + á22 +
á33 + á44 = 1. et P4 est donnée comme suit :
?
???
P4 =
|
p11 + á11s(1,k) p12 + á22s(1,k) p13 +
á33s(1,k) p14 + á44s(1,k) p21 + á11s(2,k) p22 +
á22s(2,k) p23 + á33s(2,k) p24 + á44s(2,k) p31 +
á11s(3,k) p32 + á22s(3,k) p33 + á33s(3,k) p34 +
á44s(3,k) p41 + á11s(4,k) p42 + á22s(4,k) p43 +
á33s(4,k) p44 + á44s(4,k)
|
?
? ? .
?
|
D'o`u,
P4(i,j) = T4 + (I - T4)e4a, a = (a11, a22, a33, a44).
* Ou encore plus simplement, on peut choisir A booléenne,
comme Van Dijk [48] : Dans ce cas, si par exemple on prendre A comme une
matrice unitaire telle que :
.
|
?
A4 = ???
|
1 0 0 0
|
0 1 0 0
|
0 0 1 0
|
0 0 0 1
|
?
? ?
?
|
Alors,
?
???????
P4 =
p11 + P p1k p12 p13 p14
k>4
p21 p22 + P p2k p23 p24
k>4
p31 p32 p33 + P p3k p34
k>4
p44 + P
p41 p42 p43
k>4
* Renormalisation :
On pose s(i, 4) = /4 j=1 P(i, j), on choisit alors pour 1 i, j 4
:
P (i, j)
P4(i, j) = s(i,4) .
En prenant n assez grand afin que s(i, 4) > 0.
Exemple :
s(1,4) = p11 + p12 + p13 + p14, s(2,4) =
p21 + p22 + p23 + p24, s(3,4) = p31 + p32 +
p33 + p34, s(4, 4) = p41 + p42 + p43 + p44.
D'o`u
|
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
P4 =
|
p11
|
p12
|
p13
|
p14
|
?
.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
|
|
s(1,4)
p21
|
s(1,4)
p22
|
s(1,4)
p23
|
s(1,4)
p24
|
|
s(2,4)
p31
|
s(2,4)
p32
|
s(2,4)
p33
|
s(2,4)
p34
|
|
s(3,4)
p41
|
s(3,4)
p42
|
s(3,4)
p43
|
s(3,4)
p44
|
|
s(4,4)
|
s(4,4)
|
s(4,4)
|
s(4,4)
|
|
|
