Estimation de l'erreur de trocature de l'espace d'états du système d'attente m/m1: méthode stabilité forte

1.5.3 Chaàýnes de Markov absorbantes

Une chaàýne de Markov est absorbante si tous ses états persistants sont absorbants, c'est a` dire si chacune de ses classes persistantes ne comporte qu'un seul état.

- Une chaàýne possédant des états absorbants n'est pas irréductible (sauf si l'espace d'états est réduit a` un point).

- Une chaàýne irréductible qui est transiente ou récurrente nulle, ne possède pas de probabilitéinvariante.

1.6 Distribution initiale et comportement transitoire

1.6.1 Distribution initiale

La distribution des états d'une chaàýne de Markov après n transitions est notée ð⁽ⁿ⁾. Cette distribution est un vecteur de probabilités contenant la loi de la variable aléatoire X_n

ð_i = P [X_n = i],

⁽ⁿ⁾ Vi E S.

En l'occurrence, ð⁽⁰⁾ est la distribution initiale.

Remarque 1.6.1 : Si l'état initial est connu avec certitude et égal a` i, on a simplement ð_i = 1 et ð(0)

(0) j = 0 pour tout j =6 i.

Comportement transitoire

Théorème 1.3 [13] : Soit P la matrice de probabilités de transition d'une chaàýne de Markov et ð⁽⁰⁾ la distribution de son état initial. Pour tout n = 1, on a :

ð(n) = ð^(n--1)P, et ð⁽ⁿ⁾ = ð⁽⁰⁾Pⁿ.

1.7 Comportement asymptotique des chaàýnes irréductibles

1.7.1 Comportement asymptotique

L'étude du comportement a` long terme d'une chaàýne de Markov cherche a` répondre a` des questions aussi diverses que :

. La distribution ð⁽ⁿ⁾ converge-t-elle, lorsque n ? 8?

. Si la distribution ð⁽ⁿ⁾ converge lorsque n ? 8, quelle est la limite ð et cette limite est-elle indépendante de la distribution initiale ð⁽⁰⁾ ?

. Si l'état i est persistant, quelle est la proportion du temps passédans cet état et quel est le nombre moyen de transitions entre deux visites successives de cet état?

. Si l'état i est transitoire, quel est le nombre moyen de visites de cet état?

1.7.2 Distribution limite

On dit qu'une chaàýne de Markov converge vers ð ou possede une distribution limite ð

si

lim n?8

ð(n) = ð.

indépendamment de la distribution initiale ð⁽⁰⁾ et si ð est une distribution de probabilité. La convergence d'une chaàýne de Markov est donc une propriétéqui ne dépend que de la matrice de transition P.

Théorème 1.4 (Théorème d'existence des distributions limites [37]) :

Si la matrice de transition P est telle qu'une au moins de ses puissances n'a que des termes

strictement positifs, alors

ð(n) = ð.

quelle que soit la distribution initiale ð⁽⁰⁾,et

Pn = P^*,

lorsque n --* 00. ð est un vecteur de probabilitéstrictement positif, et p^* une matrice dont toute les lignes sont identiques au vecteur limite ð. En plus

ðP^* = ð.