Estimation de l'erreur de trocature de l'espace d'états du système d'attente m/m1: méthode stabilité forte

1.7.3 Distribution invariante

Une distribution de probabilitédiscrete ð = (ð1, ð2, ...) est appelée invariante ou stationnaire par rapport a` une matrice stochastique P si

ð = ðP.

En particulier, si la loi de X0, notée í0, est une probabilitéinvariante, alors la loi de X1
est í1 = í0P = í0, et en itérant, on obtient que X_n a même loi que X0. La loi de X_n est

donc constante, on dit aussi stationnaire, au cours du temps, d'o`u le nom de ^probabilitéstationnaire [10].

Propriété1.3 :Si lim n?8

ð(n) existe, alors la limite est une distribution invariante.

Théorème 1.5 (Théorème d'existence des distributions stationnaires [37]) : Une chaàýne de Markov possède toujours au moins une distribution invariante, ce qui n'est plus nécessairement vrai si l'espace des états est infini.

Théorème 1.6 :Une chaàýne de Markov possède autant de distributions invariantes linéairement indépendantes que la multiplicitéde la valeur propre 1 de sa matrice de transition.

Théorème 1.7 [37] : Une chaàýne de Markov finie admet une unique distribution stationnaire si et selement si elle comprend une seule classe récurrente.

Théorème 1.8 [16] : La distribution ð⁽ⁿ⁾ des états d'une chaàýne de Markov converge vers une distribution (invariante) ð^* indépendante de la distribution initiale ð⁽⁰⁾, si et seulement si la suite des puissances de la matrice de transition P de la chaàýne converge vers une matrice (stochastique) P * dont toutes les lignes sont égales entre elles. De plus, si tel est le cas, chaque ligne de P * est égale a` distribution limite ð^*.

Théorème 1.9 [37] : Si ð est la distribution limite d'une chaàýne de Markov, alors ð est l'unique distribution stationnaire de cette chaàýne.

1.7.4 Comportement asymptotique des chaàýnes irréductibles et apériodiques

Le théorème suivant résume le comportement asymptotique des chaàýnes irréductibles et apériodiques.

Théorème 1.10 [13] : Soit P la matrice de transition d'une chaàýne irréductible et apériodique. Les propriétés suivantes sont vérifiées : - La matrice P ⁿ tend vers une matrice stochastique

P* lorsque n tend vers l'infini; - Les lignes de P * sont toutes égales entre elles; - P ij * > 0 pour tout i; j ? S; -Pour toute distribution initiale ð⁽⁰⁾,

lim n?8

ð(n) = lim n?8

ð(0)Pn = ð*

-ð^* est la solution unique du système :

{ ðP = ð;

(1.3)

ð1 = 1.

ð* égal a` n'importe quelle ligne de la matrice P *; -Pour tout i ? S, ð* i = ui 1 o`u ui est l'espérance du nombre de transitions entre deux visites successives de l'état i.