Estimation de l'erreur de trocature de l'espace d'états du système d'attente m/m1: méthode stabilité forte

1.7.5 Chaàýnes de Markov ergodiques

Ce qu'on appelle propri'et'es ergodiques pour une chaàýne de Markov concerne l''etude de ces comportements a` l'infini, soit de la chaàýne elle-même, soit de ses probabilit'es de transition P n.

Une chaàýne de Markov est ergodique si elle admet une distribution asymptotique, i.e. si lim ð(n) existe, unique et ind'ependante de la distribution initiale.

n-400

Propriété1.4 Les chaàýnes irr'eductibles et ap'eriodiques sont ergodiques.

Théorème 1.11 (Théorème ergodique en moyenne [26]) :

Lorsque n ? 8, la matrice ðⁿ converge ('el'ement par 'el'ement) vers la matrice ð de composantes ðij = fij//ij ^(avec ðij = 0 si /ij = 1). o`u /ii est l'esp'erance du nombre de transitions entre deux visites successives de l''etat i.

Théorème 1.12 (Théorème ergodique [16]) :

Soit {X_n;n = 0, 1, ...} une chaàýne de Markov ergodique de distribution stationnaire ð^* et f une fonction r'eelle d'efinie sur l'espace des 'etats S de la chaàýne. Alors,

lim n-400	1	Xn k=0	X f(Xk) = i?S	ð* i f(i),	presquesàurement.
	n + 1

La moyenne temporelle est donc 'egale a` la moyenne spatiale par rapport a` la probabilit'e invariante.

Théorème 1.13 [26] : Si X est une chaàýne irr'eductible, il existe une probabilit'e invariante
si et seulement si la chaàýne est positive. Dans ce cas, la probabilit'e invariante est unique et

donn'ee par

1

ði =

, /ii

Théorème 1.14 [16] : Une chaàýne de Markov irr'eductible poss'ede au plus une probabilit'e invariante ð et alors ð⁽ⁱ⁾ > 0 pour tout i E S.

Si S est fini, alors toute chaàýne de Markov irr'eductible possède une et une seule probabilit'e invariante.

1.8 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons pr'esent'e les 'el'ements de base de la th'eorie des chaàýnes de Markov, et quelques types des chaàýnes de Markov (chaàýnes irr'eductibles, r'ecurrentes, 'ergodiques,...) qui seront utilis'ees dans la suite de ce m'emoire.

L''etude de comportement a` long terme d'une chaàýne de Markov, nous permet de r'epondre a` quelques questions aussi diverses que, la convergence d'une distribution ð⁽ⁿ⁾ lorsque n --* +8.

2

Systémes de files d'attente

2.1 Introduction et structure d'un système d'attente

Les premiers résultats sur les systèmes de files d'attente ont étéproposés par l'ingénieur électricien Erlang au début du vingtième siècle, dans le but de décrire les phénomènes de congestion et d'attente ont étéutilisées dans la modélisation des systèmes de production et des systèmes informatique [14].

D'une manière générale, une file d'attente est la donnée d'une (ou plusieurs) unitéde service o`u arrivent des clients qui demandent une certaine durée d'utilisation de cette unité. Quand les clients ne peuvent accéder a` cette unitéde service, ils attendent dans une file d'attente (qui peut être éventuellement de capacitélimitée).

FIGURE 2.1 - Système de files d'attente a` un seul serveur