Introduction générale
La principale préoccupation dans la dynamique
des populations en général et dans les modèles
épidémiologiques en particulier est d'estimer la dynamique
à long terme présentée par un système
épidémiologique donné. Ceci implique qu'il faut
déterminer les solutions stables dans l'attracteur. L'attracteur le plus
simple pour un système donnée est un point d'équilibre
globalement asymptotiquement stable (GAS). Plusieurs méthodes ont
été développées pour l'étude de la
stabilité asymptotique globale des points d'équilibre d'un
système donnée. En dimension 3 par exemple, on peut citer les
méthodes présentées dans [33, 34, 41] et en dimension 4
[41, 4]. Lorsque la dimension est élevée, la méthode la
plus prometteuse est celle de Lyapunov tel que l'on peut trouver dans [26, 1,
31, 37]. Néanmoins, en épidémiologie mathématique,
les applications de la méthode de Lyapunov tendent à l'être
pour des systèmes à dimensions moins élevées.
L'application de la méthode de Lyapunov exige que l'on trouve une
fonction V (t) telle que les valeurs croisent
toujours les courbes de niveau des valeurs élevées de V
(t) aux valeurs moins élevées
[39, 48]. Si une telle fonction existe, alors, n'importe quel minimum
isolé de la fonction est un point d'équilibre stable pour le
système. Les fonctions de Lyapunov ont déjà une longue
histoire pour les équations du type LotkaVolterra [12]. L'origine des
fonctions de Lyapunov remonte à Volterra lui même, qui
évidemment n'utilisait pas le nom de Lyapunov. Ce type de fonctions est
déjà apparu en 1986 avec Berretta et Capasso [6], puis avec Lin
et So en 1993 [35] pour les résultats partiels de stabilité
globale.
Le but de ce travail est d'étudier la
stabilité globale asymptotique des points d'équilibre d'une
classe de modèles épidémiologiques en utilisant les
fonctions de Lyapunov. Les coefficients de ces fonctions seront définis
et calculés. L'analyse de la stabilité asymptotique globale du
modèle est faite selon que le taux de reproduction de base R0
est plus grand ou plus petit que 1. Dans chacun de ces cas respectifs,
nous utiliserons les fonctions de Lyapunov
U(t) =
n-1X bixi
i=1
et
V (t) =
Xn ai(xi - x* i
lnxi). i=1
L'une des particularités de ce travail est de
donner de manière exacte et explicite les coefficients des fonctions de
Lyapunov U(t) et V
(t).
Mémoire de DEA: Dany Pascal MOUALEU c~, UYI
2008
La fonction de Lyapunov V
(t) a déjà été
employée pour les modèles écologiques dans les
années 80 [39], et plus récemment pour les modèles
épidémiologiques de dimensions inférieures ou
égales à 5. Dans le cas des dimensions arbitraire, cette fonction
a été utilisée dans [17] pour analyser la progression d'un
modèle, par Berretta et Capasso dans [6, 8] et par J.J. Tewa dans
[48].
Dans [39], McCluskey a déterminé de
manière unique les mêmes coefficients pour ces deux fonctions de
Lyapunov, mais la classe de modèles épidémiologiques
étudiée dans cet article ne contient qu'une classe d'infectieux.
Nous appliquons cette même méthode à un modèle
à k classes de malades, avec k = 1. Ce travail est une
généralisation des résultats de McCluskey dans la mesure
oil elle peut inclure non seulement plusieurs classes d'infectés
latents, mais aussi plusieurs classes d'infectieux sous l'incidence de la loi
d'action de Masse. Les modèles présentés dans ce
mémoire peuvent décrire la dynamique des maladies telles que la
tuberculose, le VIH, la dynamique intra-hôte du paludisme, de
l'hépatite B, la Dengue, etc. De nombreux modèles dans la
littérature ont cette structure. Il faut tout de même que la
matrice qui régit les échanges entre les différents
classes d'infectés soit de Metzler et que les classes de malades soient
sous forme de chaîne de Markov. Le fait d'envisager plusieurs classes
d'infectées fait à ce que le modèle tienne compte de
l'approximation d'une large classe de distribution de latence, du
développement des résistances et des statuts des malades ( selon
qu'on est perdu de vue ou régulier dans le traitement).
Notre travail est organisé comme suit
:
Dans le premier chapitre, nous rappelons les notions
mathématiques essentielles, utilisées dans la suite. Les notions
de matrices de Metzler, de systèmes dynamiques autonomes, de
stabilité, de stabilité au sens de Lyapunov, le principe
d'invariance de LaSalle sont rappelés.
Le deuxième chapitre présente la classe
de modèles épidémiologiques, avec toutes les
hypothèses. Ensuite, nous présentons quelques exemples de
modèles épidémiologiques, appartenant à cette
classe de modèles épidémiologiques. Il s'agit de cinq
modèles de la tuberculose, de quelques modèles intra hôte
du paludisme, les modèles SP et des modèles du VIH.
Dans le troisième chapitre, nous effectuons une
étude globale de la classe de modèles
épidémiologiques décrit dans le chapitre
précédent. Nous commençons par déterminer les
points d'équilibre du système. Ensuite, nous calculons un
paramètre de seuil R0. Si R0 >
1, alors la maladie persiste et si R0 =
1, alors la maladie disparaît. La stabilité des
points d'équilibre du système pour R0 =
1 et pour R0 > 1 est
également exposée. Pour cela, nous avons démontré
l'existence des coefficients des fonctions de Lyapunov
et
V (t) =
Xn ai(xi - x* i
lnxi).
i=1
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Mémoire de DEA:
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Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008
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Nous avons montré que sous ces conditions, les
point d'équilibres endémiques et non endémiques sont
globalement asymptotiquement stables dans l'orthant positif. Nous
présentons également une étude numérique pour les
modèles pouvant décrire la dynamique de la transmission de la
tuberculose et du VIH pour valider les résultats analytiques obtenus.
Ces simulations ont été faites dans le logiciel de simulation
MATLAB, en utilisant la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4. Les
résultats des simulations numériques montrent que lorsque le
paramètre de seuil est plus petit que 1, la maladie disparaît
alors que lorsque le paramètre de seuil est plus grand que 1, la maladie
persiste au sein de la population humaine considérée.
Une conclusion générale de notre travail
est présenté, dans lequel nous discutons de quelques perspectives
mathématiques et épidémiologiques qui pourront faire
l'objet de de nos futurs investigations. Le mémoire se termine par un
annexe dans lequel sont démontrés les inégalités
utilisées au chapitre 3 et une liste des références
bibliographiques.
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Mémoire de DEA:
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Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008
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