Analyse globale d'une classe de modèles épidémiologiques avec différentes infectivités

CHAPITRE UN

PRELiMiNAiREs MATHEMATiQuEs

La modélisation mathématique conduit à l'analyse des systèmes dynamiques. Dans nos travaux, nous faisons appel aux systèmes différentiels non linéaires. Afin de mieux analyser ces derniers, il est important de rappeler quelques notions mathématiques relatives à l'analyse des systèmes différentiels non linéaires. Dans ce chapitre, nous rappelons les notions nécessaires et préalables à une bonne compréhension de l'étude des modèles épidémiologiques présenté dans le chapitre trois de ce mémoire.

1.1 Notations

Les notations suivantes serons adoptées tout au long de ce mémoire.

- Le rayon spectral d'une matrice N est noté ñ(N) la plus grande valeur propre de N ;

- IR+ ou _>0 est l'ensemble des réels positifs ;

- Mmn l'ensemble des matrices réelles à m lignes et n colonnes, m, n des entiers naturels non nuls. Lorsque m = n, il s'agit de l'ensemble des matrices carrées d'ordre n et sera noté Mn.

Soit x = (xi) ? ⁿun vecteur :

- x = 0 si et seulement si xi = 0 pour tout i ;

- x >> 0 si et seulement si xi = 0 pour tout i.

1.2 Quelques définitions et propriétés liées aux matrices

Dans les systèmes dynamiques, les matrices peuvent être obtenues directement lorsque le système est linéaire, ou en calculant la matrice jacobienne en un point point quelconque lorsque le système est non linéaire. L'analyse de la stabilité d'un système en général nous ramène assez souvent à la manipulation d'une matrice. Pour cela, nous allons rappeler quelques définitions et propriétés des matrices susceptibles de nous aider lors de l'analyse de la stabilité de notre système.

Definition 1.1. (Matrice à diagonale dominante)

- On dit qu'une matrice N = [Nij] ? M_n est à diagonale dominante colonne si pour tout i tel que 1 = i = n, on a

| Nii | = _Xn | Nji |

j=1,j6=i

Mémoire de DEA: Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

- On dit qu'une matrice N = [Nij] ? M_n est à diagonale dominante ligne si pour tout i tel que 1 = i = m, on a

| Nii | =

Xn j=1,j6=i

| Nij |

- On parlera de matrice à diagonale dominante stricte colonne (respectivement ligne) lorsque les inégalités dans les relations ci dessus sont respectivement stricte.

Définition 1.2. (Matrice compartimentale) [48J

Une matrice N = [Nij] ? M_n est dite compartimentale si ses coefficients vérifient - Nij = 0 pour tout les indices i et j tel que i =6 j,

- Nii = 0 pour tout i tel que 1 = i = m,

- N est à diagonale dominante colonne.

Définition 1.3. (Matrice de Metzler) [30, 36J

Une matrice N = [Nij] ? M_n est dite de Metzler si Nij = 0 pour tout i =6 j, c'est à dire que tous les termes extra-diagonaux sont positifs.

Nous allons à présent énoncé le théorème suivant dont la démonstration est faite par J. J. Tewa dans [48] et également dans [28].

Théorème 1.1. (Matrice Metzler stable)

Si N = [Nij] ? M_n est une matrice de Metzler, les propriétés suivantes sont équivalentes :

1*) La matrice N est stable;

2*) La matrice -N^-1 est strictement positive;

3*) Si Q est un vecteur strictement positif, alors l'équation Nx + Q = 0 admet une solution x ? Rn + strictement positive;

4*) Il existe un vecteur C ? Rn + strictement positif tel que le vecteur NC soit strictement négatif ;

5*) Il existe une matrice diagonale B ? M_n(R+) telle que la matrice NB soit à diagonale dominante stricte ligne (respectivement telle BN soit à diagonale dominante stricte colonne)

6*) Il existe une matrice diagonale B ? M_n(R+) les éléments diagonaux strictement positives telle que la matrice -(N^TB + BN) soit symétrique et Metzler stable.

Nous allons énoncer quelques propriétés sur la caractérisation des matrices de Metzler stables.

Propriété 1.1. (Caractérisation des matrices Metzler stables) [48J Soit M une matrice bloc de Metzler se mettant sous la forme

!

A B .

C D

Mémoire de DEA:

Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

M est stable si et seulement si A et D - CA^-1B sont Metzler stable.

Remarque 1.1. (Caractérisation des matrices Metzler stables en dimension 2 )

Une matrice de Metzler en dimension deux se mettant sous la forme

!

a -b ,

-c d

avec (a, b, c, d) = 0 est dite Metzler stable si et seulement si son déterminant est strictement positif (c'est à dire ad - bc = 0)

1.3 Stabilité asymptotique locale et globale des systèmes dynamiques

1.3.1 Quelques définitions

Définition 1.4. :(Système dynamique à temps continu)

On appelle système dynamique à temps continu sur un ensemble D, une famille d'applications {qt, t ? R+} ou {qt, t ? R}, paramétrée soit par l'ensemble R+ des réels positifs ou ou nuls, soit par l'ensemble R de tous les réels, et vérifiant les propriétés suivantes :

~ Chaque application qt est définie sur une partie Ut de D et à valeurs dans D ; ~ L'application q0 définie sur D tout entier est une application identité sur D ; ~ Si 0 = t1 = t2, alors Ut2 ? Ut1 ;

> Soient t et s deux éléments de R+ ou R qui paramètre la famille d'applications considérées. Soit x ? U_s, alors, q_s est un élément de Ut si et seulement si x est un élément de Ut+s et, lorsque c'est le cas, on a

qt(q_s(x)) = qs+t(x)

L'ensemble D est appelé espace des phases du système dynamique.

Définition 1.5. :(Système dynamique monotone)

Soit un système dynamique dont le flot est qt : x ? qt(x). Ce système est dit monotone s'il est défini sur un espace métrique ordonné et s'il possède la propriété

t = 0, x = y qt(x) = qt(y)

Mémoire de DEA:

Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

1.3.2 Les systèmes autonomes

Soit K un ouvert de Rⁿ, considérons l'équation différentielle autonome définie sur K par

xÿ = X(x). (1.1)

On suppose que X : K ? Rⁿ ? Rⁿ assez régulière pour ne pas poser de problème quant à l'existence et l'unicité de la solution du problème de Cauchy associé à l'équation (1.1). Les états stationnaires du système ou points d'équilibres du système (1.1) sont des points x0 ? K tels que X(x0) = 0.

Pour chaque x ? K, notons par Xt(x) la solution du système (1.1) satisfaisant X0(x) = x. On suppose que Xt(x) satisfait les conditions des conditions telles que Xt(x) est continue en (t,x).

Définition 1.6. :(Trajectoire, orbite)

~ On appelle trajectoire d'un point x de K l'application X_x : t 7? Xt(x). ~ On appelle orbite d'un point x la partie ã_x = {Xt(x), t ? R}.

~ L'orbite d'un point x de K est dite périodique si x n'est pas un point d'équilibre et s'il existe T ? R+ tel que Xt+T(x) = Xt(x) pour tout t > 0. On dit alors que T est la période de l'orbite périodique considérée.

Définition 1.7. :(Bassin d'attraction d'un point d'équilibre)

Soit x0 ? K un point d'équilibre du système (1.1),On appelle bassin d'attraction du point d'équilibre x0 ? K l'ensemble des éléments x ? K tels que pour tout t ? R+, Xt(x) soit défini et que

lim t?+8

Xt(x0) = x0.

On appelle bassin de répulsion du point x0 ? K l'ensemble des éléments x ? F tels que pour tout t ? R-, Xt(x) soit défini et que

lim t?-8

Xt(x0) = x0.

Définition 1.8. :(Ensemble absorbant)

Supposons que le système (1.1) est tel que X est de classe C¹ et que K est un ouvert de Rⁿ. Supposons de plus que cette équation admet des solutions quelque soit t = 0. Un sous ensemble D de K est dit absorbant suivant (1.1) si tout sous ensemble borné D1 de K satisfait x(t, D1) ? D pour tout temps t suffisamment grand.

De même, D est dit absorbant lorsque pour toute condition initiale x0, il existe T > 0 tel que Xt(x0) ? D pour tout t > T

Définition 1.9. :(Ensemble invariant)

Un sous ensemble D de K est dit positivement (respectivement négativement) invariant

Mémoire de DEA:

Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

relativement à l'équation (1.1) si x(t, D) c D pour tout t > 0 (respectivement t = 0). D est dit invariant si x(t, D) = D pour tout t.

Définition 1.10. :(Stabilité d'un point d'équilibre)

Soit x0 E K un point d'équilibre du système (1.1). On dit que x0 est un point d'équilibre stable pour le système (1.1) ou que le système (1.1) est stable en x0 si pour tout > 0, il existe un nombre réel 8 > 0 tel que pour tout x(0) E K avec x(0) -- x0 < 8, la solution Xt(x(0)) = x(t) est définie pour tout t = 0 et satisfait x(t) -- x0 < pour tout t > 0.

Si de plus il existe 80 tel que 0 < 80 < 8 et

x(0) -- x0 < 80 uim t--+oo

x(t) = x0,

x0 est dit asymptotiquement stable.

Le système est instable lorsque x0 n'est pas stable.

Définition 1.11. :(Point d'équilibre attractif)

- Le point d'équilibre x0 est attractif (on dira aussi que le système (1.1) est attractif en x0) s'il existe un voisinage D c K et x0 tel que pour toute condition initiale x commençant dans D, la solution correspondante Xt(x) de (1.1) est défini pour tout t = 0 et tend ver x0 lorsque t tend vers l'infini. En d'autres termes,

uim t--+oo

Xt(x) = x0

pour toute condition initiale x E D.

- Le point x0 est globalement attractif si

uim

t--+oo

Xt(x) = x0

pour toute condition initiale x E K.

Nous allons présenter quelques résultat de la théorie de Lyapunov, très importantes dans l'étude de la stabilité d'un système dynamique

1.3.3 Eléments sur la stabilité au sens de Lyapunov

La théorie de Lyapunov joue un rôle central dans l'étude théorique de la stabilisation des systèmes non linéaires. On introduit les définitions suivantes. Soit U : K c Rⁿ ? R une fonction continue.

Définition 1.12. - La fonction de U est dite définie positive si U(x0) = 0 et U(x) > 0

dans un voisinage K0 de x0 pour tout x =6 x0 dans ce voisinage.

- La fonction de U est dite définie négative si --U est définie positive.

Mémoire de DEA:

Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

- La fonction de U est dite semi-définie positive si U(x0) = 0 et U(x) = 0 dans un voisinage K0 de x0.

Définition 1.13. :(Fonctions de Lyapunov)

Une fonction V de classe C¹ définie positive dont la dérivée par rapport au temps ^Vÿ est semi définie négative est appelée fonction de Lyapunov large pour le système (1.1). Si de plus vÿ est définie négative, alors, V est une fonction de Lyapunov stricte pour le système (1.1)

Théorème 1.2. (Stabilité au sens de Lyapunov)

- Si le système (1.1) admet une fonction de Lyapunov large sur K, alors, le point d'équilibre x0 est stable.

- Si le système (1.1) admet une fonction de Lyapunov stricte sur K, alors, le point d'équilibre x0 est asymptotiquement stable.

Ce théorème nous dit que pour montrer qu'un point d'équilibre est stable, il suffit de trouver une fonction de Lyapunov en ce point. Pour utiliser ce théorème original de lyapunov dans le but de prouver qu'un point d'équilibre est asymptotiquement stable, nous devons trouver une fonction de Lyapunov stricte. Cette opération n'est en général pas chose facile. la condition sur la dérivée peut être allégée en employant le principe d'invariance de LaSalle que nous présentons dans le sous paragraphe ci dessous et dont la démonstration peut être trouvée dans [30].

1.3.4 Principe d'invariance de LaSalle

Ce principe est défini dans le théorème suivant.

Théorème 1.3. :(Principe d'invariance de LaSalle)

Soit K un ensemble compact positivement invariant pour le flot décrit par le système différentiel (1.1). Si V : K c Rⁿ ? R est une fonction de classe C¹ pour (1.1) en x0 telle que ^ÿV(x) = 0 pour tout x E K et si L est le plus grand ensemble positivement invariant contenu dans M = {x E K, ^ÿV(x) = 0}, Alors, toute solution bornée de (1.1) commençant dans K tend vers L lorsque le temps tend vers l'infini.

Ce théorème a la particularité de ne pas exiger que ^Vÿ soit définie négative. Cependant, il fournit juste l'information sur l'attractivité du système considéré au point d'équilibre x0. il ne peut être employer pour montrer que les solutions tendent vers un point d'équilibre que si L est réduit à ce point d'équilibre. Il n'indique pas si le point d'équilibre est stable ou pas. Pour établir la stabilité asymptotique d'un point d'équilibre x0, de K on peut employer la conséquence suivante du principe d'invariance de LaSalle.

Théorème 1.4. [5] Soit K un ensemble compact positivement invariant pour le flot décrit
par le système d'équations différentielles (1.1). Soit V une fonction de classe C¹ définie sur

Mémoire de DEA:

Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008

K. Supposons Vÿ = 0 pour tout x E K ; soit L le plus grand ensemble invariant contenu dans M. On suppose que

1. L attire toutes les solutions issues de K, c'est à dire que _{limt_8} d(Xt(x), L) = 0 où d(Xt(x), L) est la distance entre Xt(x) et L liée à la topologie de K.

2. S est le plus petit ensemble relativement asymptotiquement stable par rapport à K contenant L.

Alors, L est relativement asymptotiquement stable par rapport à K

Ce théorème est démontré dans [5] par Bathia et Szegö. une conséquence de ce théorème est le résultat suivant :

Corollaire 1.1. Sous les hypothèses du théorème précédent, si L est réduit au point x0 E K, alors x0 est un point d'équilibre globalement asymptotiquement stable pour le système (1.1) défini sur K.

conclusion

Dans ce chapitre, nous avons parcouru quelques éléments mathématiques utiles pour l'analyse des modèles épidémiologiques. Il s'agit notamment des matrices, de la théorie de Lyapunov, et du principe d'invariance de LaSalle. Dans le chapitre suivant, nous allons présenter la classe de modèles épidémiologiques que nous allons étudier et donner une interpretation. Il sera également présenté quelques modèles appartenant la classe de modèles épidémiologiques.

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Dany Pascal MOUALEU c~, UYI 2008