Approche statistique sur l'étude des rendements financiers et applications.

2.4 Choix d'un modèle

2.4.1 Critère d'information

Cette approche a été introduite par Akaike en 1969. Cette mesure de l'ecart entre le modèle proposé et la vraie loie peut être obtenue à l'aide de la quantité de Kullback.

1. Hamilton 1994, p. 126

2. voir Greene (2005, p. 256)

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2.4.2 Définition

On se donne f0 la densité inconnue d'observations et ?f(.), f E F_? la famille des densités parmi lesquelles on a fait l'estimation. L'écart entre la vraie loi et le modèle est donné par

fEF? log f0(x)

I(f0, F) = min f(x) f(x)dx

Cette quantité est toujours et s'annule seulement si f0 appartient F. Cette quantité étant inconnue car f0, on essaiera de minimiser un estimateur de I, ^àI. Plusieurs estimateurs de la quantité d'information ont été proposés, dans le cas de modèles AR(p), à partir de T observations. Dans la suite on supposera disposer d'un modèle AR(p).

Nous avons vu jusqu'á maintenant que les fonctions d'autocorrélation et d'au-tocorrélation partielle nous permettent de determiner l'ordre d'un modèle autorégressif.Maintenant, l'idée est de créer des critères statistiques qui choisiront l'ordre du mod`ele.

Critère AIC et BIC pour processus autorégressif

L'idée du critère AIC, appelé encore le critère d'Akaike est de créer une fonction qui nous permettra de calculer la qualité de l'ajustement .On sait que le nombre de paramétres augmente, la variance àó² diminue. Dans le but de ne pas se retrouver avec une surparamétrisation du modèle, on ajoute un facteur qui permettra de faire un compromis entre le nombre de paramètre et la variance minimale. Dans les paragraphes qui suivent, on considère un modèle AR(p) et on calcule àó² a` l'aide du maximum de vraisemblance pour plusieurs valeurs positives de p. Le critére AIC consiste à calculer

AIC(p) = log(àó²) + 2 p

T

où T représente le nombre d'observations En utilisant ce critère, on remarque que si pà est le paramètre obtenu de la minimisation et que p est le paramètre

du vrai modèle, on a la proprièté suivante

P(àp ~ p) -+ 1 lorsque T -+ oc

Le critère a donc tendance à choisir un nombre de paramètres plus grand que celui du vrai modèle, ce qui nous conduit à un plus petit terme d'erreur àó². Si l'on désire avoir un meilleur choix de l'ordre p, il existe le critère BIC qui utilise une plus forte pénalité. Le critére BIC (Critère d'Information Bayé-sien) sélectionne le paramètre p qui minimise la quantité suivante :

BIC(p) = log(àó²) + p T log(T)

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