Approche statistique sur l'étude des rendements financiers et applications.

2.5 Prévision

Une fois que l'on a spécifié et estimé un processus AR, qui a passé avec succés les tests de validation, on désire l'utiliser pour effectuer des prévisions sur la série. On dispose donc des donnèes X1, . . . , XT observé entre 1 et T, et on désire prédire la valeur de la série à l'horizon h avec h ~ 0 , à savoir XT+h. On note TX* T +h ce prédicteur et on suppose que tous les processus AR seront mis sous forme canonique, et n'avoir aucune racine unité.

2.5.1 Prévision d'un modèle AR(p)

On considére toujours l'équation (2.4). Le modèle s'écrit donc,

Rt = ö1Rt_1 + ... + _{öpRt_p} + Et oh (L)Rt = Et

La prévision optimale (horizon h = 1) à la date T + 1, faite à la date T est

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TR* T+1 = E[L(RT+1|RT,RT_1 ...)]

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Aussi,

TR*T+1 = ö1RT + ... + öpRT-p De mani`ere analogue,

RT+h = ö1RT+h-1 + . . . + _öpRT+h-p + ET+h

Et donc,

_T R* T+h = E[L(RT+h|RT, RT-1 ...)] est donné, de façon récursive par

_T R* T+h = ö1.T RT+h-1 + . . . + öh-1.T RT+1 + _öhRT + . . . + _öpRT+h-p pour tout h < p et TRz,+h = ö1.TRT+h-1 + . . . + _öh-1.TRT+1 sinon

Exemple 2.5.1.1 Dans le cas d'un processus AR(1), (Xt) défini par :

Xt = öXt-1 + u + Et

alors :

i) TXi',+1 = öXT + u (horizon h=1)

ii) TXT+2 = ö.TX^*T+1 + u = u + ö[u + öXT]=u[1 + ö] + ö²XT (horizon h=2)

iii) TXT+3= ö.TX^*T+2 + u = u + ö[u + ö(u + öXT)]=u[1 + ö + ö²] + ö³XT (horizon h=3)

et récursivement on peut obtenir _TX7,+h de la forme

TXT+h = ö.TX4^,+h-1 + u = u[1 + ö + ö² + ... + +ö^h-1] + ö^hXT

Exemple 2.5.1.2 Une méthode alternative est de considérer le processus centré Yt = Xt - uó alors Yt = öYt-1 + Et.

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Alors de facon réçursive TYT*+h = ö.T Y *-1

T +het donc TY T * +h = ö^hYT . Aussi on

peut écrire

_T X* T +h = u ö + ö^h[XT - u ö]

= u

1 - öh

1 - ö + ö^hXT

= u(1 + ö + ö² + . . . + ö^h-1) + ö^hXT .

CHAPITRE3
	Simulations

Dans cette partie, on va essayer de simuler les fonctions définies dans les paragraphes précédents.

3.1 Exemples de processus AR

3.1.1 Les processus AR(1)

Un processus AR(1) : Xt = çXt_1 + Et sera autocorrélé positivement si 0 < ç < 1, et autocorrélé négativement si -1 < ç < 0. Cette série va osciller autour de 0, en s'ecartant suivant la valeur Et du processus d'innovation (si -1 < ç < +1). Si ç = +1, on obtient une marche aléatoire et ç > +1 ou ç < -1 le processus n'est pas stationnaire, et on obtient un modèle qui explo-sera(à moyen terme). La valeur ç dans le cas où le proccessus est stationnaire, est la corrélation entre deux dates consécutives. ç=Corr(Xt, Xt_1)

Exemple 3.1.1.1 ( Processus AR(1) avec ç1 > 0)

Considérons un processus AR(1) noté (AR1t) stationnaire avec ç1 = 0.6 c'est-à-dire

AR1t = 0.6AR1t-1 + Et

On obtient donc le code R et le résultat ci-dessous pour la simulation de la série (AR1t) :

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FIGURE 3.1 - La série AR1

Les trois courbes représentent respectivement l'allure de la série AR1 (en noire), la fonction d'autocorrélation (ACF) (en rouge) et la fonction d'auto-corrélation partielle (PACF) (en vert) de la série AR1.

La courbe de l'ACF a une décroissance exponentielle et pour le PACF on note un un Pic significatif pour le premier retard. Notre processus est donc correlé positivement .

Exemple 3.1.1.2 (La série AR(1) avec ç1 < 0)

Soit à etudier la série AR(1) notée (AR11t) stationnaire avec ö1 = -0.6

c'est-à-dire

AR11t = -0.6AR11t_1 + Et

Le code ci-dessus nous fournit le resultat suivant:

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FIGURE 3.2 - La série AR11

Ces allures représentent respectivement celle de la série AR1 (en noire), celle de la fonction d'autocorrélation (ACF)(en rouge) et celle de la fonction d'au-tocorélation partielle (PACF) (en vert) de la série AR11.

On a constaté que l'ACF a une décroissance sinusoïdale et pour la PACF

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on note un un Pic significatif pour le premier retard . On peut aussi remarquer que cette série est corrélée négativement .