Application de série de fourier à l'intégration de quelques EDP linéaires du second ordre

INTRODUCTION

En mathématique, plus précisément en calcul différentiel, une Equation aux dérivées partielles, parfois appelée équation différentielle partielle, qui sera abrégée dans la suite EDP, est équation fonctionnelle qui met en relation des dérivées partielles.

Beaucoup de phénomènes naturels sont modalisés par des équations aux dérivées partielles comme les prévisions météorologiques, les secousses sismiques, les mouvements des océans, ...dans les disciplines scientifiques telles que l'économie, la finance, les sciences médicales, acoustique, aérodynamique, dynamique des fluides, élasticité, géophysique, mécanique, optique, électricité, etc.

Il existe plusieurs types d'EDP selon leur ordre. Quant aux EDP du second ordre qui font l'objet de notre étude, il en existe généralement trois. Malheureusement, il n'existe pas une méthode générale pouvant permettre leur résolution. Suite à cela, dans la plupart des cas, il est extrêmement difficile, voire impossible de montrer les solutions d'une EDP. Dans d'autres cas, on aboutit à montrer que le problème est bien posé, i.e. admet une solution unique et on peut parfois calculer les approximations numériques des solutions.

Les séries trigonométriques et les séries des Fourier constituent deux théories bien distinctes, même si elles ont des liens profonds. Ces deux théories ont pour point de départ les travaux de J.B.J. Fourier sur la propagation de la chaleur dans les solides. Elles ont dû pour cela remonter, dès leur naissance, des multiples objections et obstacles, car le moins qu'on puisse dire est qu'elles ne sont pas faciles, mais les résultats ont des retombés dans les domaines voisins, appliqués (EDP) ou théoriques (topologie et théories des ensembles, intégration, analyse fonctionnelle...).

Ceci étant, nous avons voulu aussi les appliquer à l'intégration des quelques EDP linéaires. D'où le choix de notre sujet : Application des séries de Fourier à l'intégration de quelques EDP linéaires du second ordre.

L'intérêt de notre étude n'est pas uniquement didactique, mais il se veut aussi un outil de référence pour tout chercheur qui aura besoin d'enrichir son bagage intellectuel et de trouver certaines fonctions qui y seront analysées.

Notre étude n'est pas la première à être abordée dans le domaine d'analyse mathématique. Les travaux ci-après nous ont précédés :

1. KALAKI MBUYI S, Etudes singulières des problèmes quasi-linéaires elliptiques, mémoire, U.P.KAN., 2022, il a monté qu'en utilisant les séries de Fourier on peut trouver les solutions singulières des EDP du type elliptique quasi-linéaires.Toutefois, le domaine de résolution est fixe et ce domaine peut être le carré, le rectangle, le cylindre ;

2. KALONGA NTAMBUE E., Application des polynômes de Legendre à la résolution d'une EDP, TFC, U.P.KAN., 2019. L'auteur a montré que la solution de l'EDP de Laplace peut être exprimée sous forme des polynômes de Legendre.

Après avoir lu ces divers travaux, nous constatons que nos prédécesseurs ont abordé leurs sujets en analyse fonctionnelle, tous sur les problèmes elliptiques (EDP de Laplace).

Les EDP constituent un terrain de jeu extrêmement riche et vaste ; et, elles sont à l'origine de beaucoup de concepts comme : la transformation de Fourier et la théorie de distribution.Elles sont regroupées en trois types ou grandes classes fondamentales : EDP du type elliptique, parabolique et hyperbolique. Nous nous sommes intéressé à toutes ces classes d'EDP du second ordre.

Ainsi, la problématique de notre recherche se présente de la manière suivante :

v Les séries de Fourier peuvent-elles être applicables à l'intégration de quelques EDP linéaires du second ordre ?

v Quelles en sont des solutions et leur nature ?

En utilisant les séries de Fourier, on peut obtenir les solutions de quelques EDP linéaires du second ordre toutefois le domaine fixe qui peut être le carré, le rectangle, le cercle, etc. Et, ces solutions pourront avoir la forme d'une série de Fourier par l'existence et l'unicité de la solution.

Nous utiliserons la méthode analytique pour arriver à l'analyse des certaines EDP en but d'en trouver solutions et démontrer certains théorèmes, propositions et lemmes. Nous avons utilisé la technique documentaire qui nous permettra de consulter différents documents pour mener cette étude.

Excepté l'introduction et la conclusion générales, notre mémoire comprend trois chapitres :

Ø Le premier s'intitule : Généralités sur les équations différentielles ordinaires et partielles ;

Ø Le deuxième est consacré aux généralités sur les séries de Fourier ;

Ø Le troisième et le dernier est axé sur l'application des séries de Fourier à la résolution de quelques EDP linéaires du second ordre : EDP de la chaleur, des ondes et de Laplace.

CHAPITRE I : GENERALITES SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES ET LES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES

1. LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES

Définition I.1.1[9]  une équation différentielle est une relation entre la variable , une fonction inconnue et ses dérivées

L'entier n s'appelle ordre de l'équation différentielle

Définition 1.1.2 [9] Intégrer l'équation différentielle , c'est trouver toutes les fonctions qui vérifient cette relation.

Une telle fonction s'appelle solution, ou intégrale de l'équation . Le graphe de la fonction est appelé courbe intégrale de l'équation différentielle .

Intégrer l'équation revient à trouver toutes les courbes intégrales.

Exemple 1.1.1

a) est une équation différentielle du 1^er ordre ;

b) estune équation différentielle du 2^ème ordre.

I.1.1. EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE [9]

Définition 1.1.3 une EDO est dite du premier ordre, si elle est de la forme

Il y a trois classes principales d'équations différentielles du premier ordre :

1° Equations à variables séparables ;

2° Equations homogènes (où ne dépend que du rapport ) ;

3° Equations linéaires ( où et sont au premier degré).

Ces dernières peuvent être à coefficients constants ou non, sans second membre ou avec second membre.

Exemples 1. 1. 2

a. est une EDO à variables séparables du 1^er ordre ;

b. est une EDO homogène du 1^er ordre ;

c. est une EDO linéaire du 1^er ordre.

EQUATIONS A VARIABLES SEPAREES 1.1.1.1

Définition 1.1.4 on appelle EDO à variable séparées, toute EDO pouvant s'écrire :

Où et dépendent respectivement de et de Puis on intègre les deux membres sans oublier la constante d'intégration , enfin, on se force de donner les solutions sous la forme explicite

Exemple 1. 1. 3Soit l'EDO du premier ordre :

On l'écrit sous la forme

Soit +c

ou encore posons

EQUATIONS HOMOGENES 1.1.1.2

Définition 1.1.5une EDO est dite homogène lorsqu'on peut la mettre sous la forme :

Une telle EDO ne change pas lorsqu'on remplace par et par où .

RESOLUTION : on pose ou ou une nouvellefonction inconnue.

On sait que

Remplaçons par sa valeur :

Séparons les variables

Intégrons membres à membre et obtenons

Ou

Portons cette dernière égalité dans , on obtient

Exemple 1.1.4 soit à résoudre l'équation , une EDO Homogène du 1^er ordre.

Elle peut s'écrire sous la forme suivante :

Posons , d'où L'équation devient :

Ou en divisant par et en supposant pour fixer les idées,

En intégrant membre à membre, on a :

Posons

Elevons les deux membres au carré, pour exprimer en fonction de :

Puis que nous trouvons finalement :

(c'est l'équation d'une formule de paraboles).

EQUATIONS LINAIRES 1. 1. 1. 3

Définition 1. 1. 6une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation de la forme :

Où et sont des fonctions continues de la variable

Lorsque le second membre est nul, on dit que l'équation différentielle linéaire est sans second membre.

Exemples 1. 1. 5

a. est une EDO linéaire du 1^er ordre avec second membre ;

b. est une EDO linéaire du 1^er ordre sans second membre.

A. EQUATION LINEAIRE SANS SECOND MEMBRE

Considérons l'équation

RESOLUTION : la résolution est très simple car on se ramène au premier type d'équations du premier ordre (à variables séparables) : on peut en effet séparer les variables et l'intégration est immédiate.

Sachant que

En intégrant membre à membre, on obtient :

Posons , une solution de l'équation homogène.

Les solutions de l'équation sont de la forme :

où est une solution particulière non nulle de qui est possible de calculer par quadrature.

Exemple 1. 1. 6 soit à résoudre dans l'EDO :

SOLUTION : Divisons l'EDO par pour raison de normalisation

Intégrons membre à membre :

Du 2^ème membre, posons

En remplaçant toujours dans le 2^ème membre, on obtient :

Or , alors

A. 1 EQUATION A COEFFICEINTS CONSTANTS

On se place dans le cas où est une constante et l'équation devient :

RESOLUTION :

En intégrant membre à membre, on obtient :

les solutions de .

Exemple 1. 1. 7 Soit à intégrer dans l'équation :

SOLUTION

Intégrons membre à membre :

Posons

B. EQAUATION LINEAIRES AVEC SECOND MEMBRE

L'équation linéaire du premier ordre avec second membre est de la forme :

SOLUTION  posons où est la solution de l'équation ici appelée équation associée à

La fonction est définie par

Ce changement de fonction revient à remplacer dans l'expression la constante par une fonction variable , d'où le nom de variation de constante donné à cette méthode. Elle consiste à calculer la dérivée de

de la manière suivante :

En remplaçant dans , on obtient :

Puisque est la solution de l'équation ,il reste donc à considérer

Ou

En intégrant membre à membre, on a :

où est une solution particulière.

Ceci étant, la solution générale s'en déduit en multipliant les deux membres par , c'est-à-dire :

Or au départ était , d'où :

Exemple 1. 1. 8soit à intégrer l'équation différentielle linéaire

SOLUTION

En effet, l'équation homogène associée est :

Séparons les variables :

Intégrons membre à membre :

est la solution particulière de l'équation homogène associée.

Utilisons la méthode de variation de constante pour trouver la solution générale :

équation donnée

la solution de l'équation homogène associée.

Portons ces dernières dans l'équation donnée :

Portons les valeurs de dans la solution homogène, on a :

Solution générale de l'équation donnée.

C. EQUATION LINEAIRE A COEFFICIENTS ET SECOND MEMBRE CONSTANTS

Dans ce cas, l'équation devient :

Où et sont deux nombres réels.

RESOLUTION : on peut dans ce cas séparer les variables, en conservant le second membre :

Intégrons :

Multiplions les deux membres par pour trouver

Exemple 1. 1. 9 Soit à intégrer l'équation

On peut écrire successivement

En intégrant, on obtient :

D'où,

Et enfin en posant

1. 2. EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU SECOND ORDRE

Définition 1. 1. 7 [9] une équation différentielle du deuxième ordre est de la forme :

Il y a deux classes principales d'équations différentielles du second ordre :

1. Equations incomplètes (se ramenant au premier ordre) ;

2. Equations linéaires.

Exemples 1. 1. 10

a. est une EDO du second ordre incomplète ;

b. est un EDO linéaire du second ordre.

EQUATION LINEAIRES DU SECOND ORDRE 1. 1. 2. 1. [2]

Définition 1. 1. 8 on appelle équation linéaire du second ordre, toute équation de la forme :

Où et sont des fonctions continues sur l'intervalle I.

Lorsque dans l'équation est nulle, alors l'équation se nomme : équation sans second membre ou EDO linéaire homogène associée et s'écrit sous la forme :

Théorème 1. 1. 1La solution générale de l'équation est la somme d'une solution particulière de cette équation et de la solution générale de l'équation homogène.

Preuve : soit solution de l'équation complète. Posons .

une la solution particulière et montrons que est une solution de l'équation homogène ; pour y arriver, cherchons les dérivées premières et secondes de

Portons les dérivées et dans l'équation complète

Donc est une solution de l'équation homogène .

EDO LINEAIRES HOMOGENES A COEFFICIENTS CONSTANT 1. 1. 2. 2. [1]

Définition 1. 1. 9 Une EDO linéaire homogène du second ordre est dite à coefficients constants si elle est de la forme :

Où sont des réels.

Intégrer l'équation , c'est chercher s'il existe des intégrales de la forme étant constant ; nous avons :

En portant dans l'équation , nous obtenons en divisant par l'équation du second degré en

Appelée équation caractéristique de l'équation

D'où, pour cette dernière, trois cas sont possibles :

1. Si , l'équation admet deux solutions distinctes et , les fonctions sont deux intégrales dont le rapport n'est pas constant.

Les intégrales sont de la forme :

Où et sont deux constantes arbitraires.

2. Si , l'équation admet une racine réelle double

Les intégrales sont de la forme :

3. Si , alors l'équation admet deux racines complexes

et

Les intégrales sont de la forme :

Exemples 1. 1. 11Soit à intégrer les EDO linéaires suivantes :

a.

b.

c.

SOLUTIONS

a. L'équation caractéristique est

L'équation caractéristique admet deux racines réelles :

et . Les intégrales de l'EDO sont de la forme :

b. l'équation caractéristique est

L'équation caractéristique admet un racine réelle double.

L'expression générale des intégrales est :

c. a pour équation caractéristique

L'équation admet deux racines complexes :

et

D'où, l'expression générale des intégrales est :

EDO LINEAIRES NON HOMOGENES A COEFFICIENTS CONSTANTS : 1. 1. 2. 3. [1]

Soit l'équation

.

La solution générale de cette équation est une combinaison linéaire de la solution de l'équation homogène associée à et d'une solution particulière.

Cette solution particulière se détermine facilement par la méthode des coefficients indéterminés dans les cas simples suivants :

1°. où est un polynôme de degré

Ø Si n'est pas une racine de l'équation caractéristique, alors on pose :

, où est un polynôme à déterminer ;

Ø Si est une racine d'ordre « n » de l'équation caractéristique, on pose :

).

2°.

Ø Si n'est pas racine de l'équation caractéristique, alors on pose :

où et sont des polynômes de degré .

Ø Si est une solution de l'équation caractéristique, alors on pose :

Exemple 1. 1. 12Soit à intégrer l'EDO linéaire :

RESOLUTION : l'équation homogène associée est

Son équation caractéristique est :

Alors,

est la solution générale de l'équation homogène.

Cherchons maintenant la solution particulière .

Posons ceci implique

Portons dans l'équation initiale :

Connaissant la valeur de

Pour trouver la solution générale, nous prenons :

La solution particulière :

D'où, la solution générale est

2. EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES

Définition 1.2.1 [5] une équation aux dérivées partielles (EDP) est une équation fonctionnelle qui met en relations les dérivées partielles.

Typiquement, si est une fonction à valeurs scalaires des variables où désigne un ouvert de une EDP est une relation de la forme :

Pour

Où désigne une fonction définie sur un ouvert de

I.2. 1 DEFINITION DES CONCEPTS DE BASE [10]

Définition 1. 2. 2 L'ordre d'une équation aux dérivées partielles est le plus haut degré de dérivation présent dans l'équation

Définition 1. 2. 3La dimension d'une équation aux dérivées partielles est le nombre de variables indépendantes dont dépend la fonction inconnue de .

Définition 1. 2. 4Résoudre une EDP consiste donc à déterminer toutes les fonctions définies sur le domaine satisfaisant l'équation

Exemple 1. 2. 1 Soit l'équation :

Est une EDP du second ordre et de dimension

Les fonctions et sont toutes des solutions de l'équation donnée dans l'exemple 1.2.1

Exemple 1. 2. 2 Soit l'EDP :

C'est une équation est une EDP du premier ordre et de dimension deux (2).

Définition : 1. 2. 5. Une équation aux dérivées partielles est du premier ordre si elle est de la forme :

Où est une fon,ction de plusieurs variables indépendantes et des dérivées particulières du premier ordre :

Exemple 1. 2. 3

Est une EDP de transport.

2. 2 EDP LINEAIRES DU SECOND ORDRE [5]

Définition 1. 2. 6 Une équation aux dérivées partielles est linéaire par rapport à la fonction inconnue et ses dérivées partielles. On peut l'écrire sous la forme :

: est l'opérateur (application) linéaire aux dérivées partielles associé à une EDP.

Définition 1. 2. 7 On dit qu'une équation aux dérivées partielles du second ordre est linéaire si la dépendance par rapport à la fonction inconnue et ses dérivées partielles est linéaire :

Remarque 1. 2. 1 Si , alors l'équation est dite homogène.

Définition 1. 2. 8 On dit qu'une EDP est semi-linéaire si la dépendance par rapport aux dérivées partielles d'ordre le plus élevé est linéaire, c'est-à-dire :

Définition 1. 2. 9 On dit qu'une EDP est quasi-linéaire si elle est de la forme :

Définition 1. 2. 1 On dit qu'une EDP est complétement non-linéaire si elle dépend non-linéairement de ses termes d'ordre le plus élevé.

Exemple 1. 2. 4 Soit à montre la linéarité de l'EDP

On sait que

Donc, l'équation de l'exemple 1. 2. 1. Est linéaire. Elle est du second ordre, de dimension 2 et homogène.

Théorème 1. 2. 1

1. Si la fonction est une solution de l'équation , et solution de l'équation homogène associée, alors est solution de .

2. Si est solution de et solution de alors est solution de

Preuve :

1. Comme et

Donc : car la linéarité de .

Alors est solution de .

2. Nous savons que et que

Par conséquent,

Nous avons donc est solution de .?

Théorème 1. 2. 2La solution générale d'une équation différentielle linéaire d'ordre dépend linéairement de fonctions arbitraires.

Exemple 1. 2. 5 Soit l'EDP linéaire homogène :

En intégrant par rapport à y, on obtient :

En intégrant par rapport à x et en notant un primitive de la fonction arbitraire on obtient :

les fonctions sont deux fonction quelconques.

2. 3CLASSIFICATION DES EDP DANS

Définition 1. 2. 11 [11] On appelle généralement équation aux dérivées partielles linéaires d'ordre inférieur ou égal à deux (2) dans un domaine ?? et d'inconnue une équation du type :

Par convention, on supposera que avec la matrice

symétrique de coefficients devant les termes d'ordre 2.

Soit

Où sont des fonctions de qui ne s'annulent pas simultanément .

Nous supposerons aussi que sont toutes au moins des dérivées d'ordre continues sur le domaine du plan (x, y).

D'où, de l'équation , on chercher des valeurs propres de la matrice et de l'équation on cherchera le discriminant pour déterminer de quel type d'EDP linéaire du second ordre il s'agit.

Pour toutes ces deux formes et d'équation aux dérivées partielles, il existe trois (3) types d'EDP linéaire du second ordre :

EDP du type hyperbolique, du type parabolique et du type elliptique.

Remarque 1. 2. 2 Suite à la définition 1. 2. 11, avant la matrice est définie sous cette forme :

Alors, le polynôme caractéristique de cette matrice :

Donc, il y a deux valeurs propres avec

1. EDP DU TYPE HYPERBOLIQUE

Définition 1. 2. 12 Soit l'équation telle que ou dans un domaine .

Lorsque

Ou , elle est dite du type hyperbolique dans ce domaine.

Remarque 1. 2. 3  : on dit qu'une équation est du type hyperbolique si les valeurs propres sont non nulles et de même signe sauf une, alors

et ce qui donne

Exemple 1. 2. 6 (EDP des ondes) soit une fonction des variables d'espace et du temps , définie sur un domaine et pour positif.

L'équation des ondes pour la fonction s'écrit :

Par identification,

L'EDP des ondes est donc du type hyperbolique.

1. EDP DU TYPE PARABOLIQUE

Définition 1. 2. 13 Soit l'EDP telle que ou dans un domaine Lors que

Elle est dite parabolique dans ce domaine.

Remarque 1. 2. 4 On dit que l'EDP est du type parabolique en si admet valeurs propres de même signe et une valeur propre nulle.

Ou encore

Exemple 1. 2. 7 (EDP de la chaleur). Soit des variables d'espace et du temps définie sur un domaine de et pour positif.

L'équation de la chaleur pour la fonction s'écrit :

avec donné.

par identification.

L'équation de la chaleur est donc du type parabolique.

1. EDP DU TYPE ELLIPTIQUE

Définition 1. 2.14 Soit l'EDP telle que ou dans un domaine

Lors que

Elle est dite du type elliptique dans ce domaine.

Remarque 1.2.5Une EDP est du type elliptique en si la matrice signe :

Exemple 1. 2. 8 (EDP de Laplace) soit une fonction définie sur un domaine et vérifiant dans ce domaine l'équation de Laplace :

ou

par identification

L'équation de Laplace est donc du type elliptique.

I.2.4. SYSTEME ORTHOGONAL [11]

Soit les fonctions continues sur l'intervalle

Nous dirons que est un système orthogonal sur si et seulement si :

La section constante de séparation de la dernière égalité

Dont le premier membre dépend de seul et le second de sont égaux à une même constante que nous désignons

I.2.5. PROBLEME BIEN POSE [6]

Définition 1. 2. 15 En mathématique, un problème est bien posé s'il a une solution et cette solution est unique.

Soit une EDP valide dans un domaine , munie de conditions aux frontières. Le problème est bien posé si (s') :

v Il existe une solution de l'EDP satisfaisant les conditions aux frontières (existence) ;

v La solution est unique (unicité) ;

v La solution est stable par rapport aux conditions aux frontières imposées (stabilité).

TABLEAU RECAPITULATIF [6]

Pour une EDP du second ordre linéaire à coefficients constants, on a un problème bien posé dans les cas suivants (conditions suffisantes) :

TYPE	FRONTIERE	CONDITION
Hyperbolique	Ouverte	Cauchy
Parabolique	Ouverte	Dirichlet ou Neumann
Elliptique	Fermée	Dirichlet ou Neumann

I.2. 6. CONDITION SUR L'ENSEMBLE DES SOLUTIONS [6]

Pour trouver des solutions particulières aux EDP à partir de la solution générale, on impose des conditions restrictives sur l'ensemble des solutions.

Les conditions les plus fréquentes sont :

1. CONDITION INITIALES

Si est une fonction de on donne

ou , on parle aussi des conditions de Cauchy.

2. CONDITIONS AUX LIMITES

Définition 1. 2. 16Une condition aux limites est une contrainte sur les valeurs que prennent les solutions des EDP sur une frontière.

Ces conditions imposent une valeur de la fonction ou de ses dérivées partielles au bord du domaine .

Il existe plusieurs types de conditions aux limites dont nous citons quelques-unes :

v Condition de Dirichlet : où on impose la valeur de la fonction recherchée sur le bord

Exemple 1. 2. 9

Où est une fonction. si on qualifiera le problème d'homogène, dans le cas contraire il sera dit non homogène.

v Condition de Neumann : où on impose la valeur de la dérivée normale de la fonction recherchée sur le bord .

Exemple 1. 2. 10 où est une fonction

Un problème du 2^ème type est un celui où tout le bord est soumis à des conditions de Neumann.

v Conditions de Fourier-Robin : où on impose une relation entre la valeur de la dérivée normale de la fonction recherchée et sa valeur sur le bord ( .

Exemple1.2.11 On note

Un problème du 3^ème type est celui où les conditions sont des types différents sur des portions de bord

v Conditions Périodiques :

CHAPITRE II LES SERIES DE FOURIER

Dans ce chapitre nous parlons de la généralité sur les séries de Fourier qui ont pour point de départ les travaux de Fourier J.B.J. qui montrent que certaines fonctions périodiques peuvent être représenter sous forme de la somme d'une série de fonctions trigonométriques. [8]

II.1 SERIES TRIGONOMETRIQUES

Définition 2.1 [8] On appelle série trigonométrique, une série de fonctions dont le terme général est de la forme :

Où des nombres réels . En particulier, on omet de terme , nul quel que soit . En un point où la série converge, sa somme est notée :

Ou encore

Les fonctions admettent toutes pour période.

Proposition 2.1[1] Si les séries numériques convergent absolument, alors la série trigonométrique dont le terme général converge normalement (et par conséquent simplement, absolument et uniformément) sur R.

Démonstration : les fonctions sinus et cosinus étant majorées par 1 et minorées par -1, pour tout on a :

|

On en déduit que

Si les séries numériques convergent absolument alors la série de terme général converge. D'après les critères de convergence pour les séries à termes positifs (soient et deux suites réelles à positifs telles que :

· Si la série converge, alors la série converge.

· Si la série diverge, alors la série diverge), la série de terme général converge. Par définition, cela signifie que la série converge normalement sur R.???

II. 1. 1. PROPRIETE DE LA SOMME D'UNE SERIE TRIGONOMETRIQUE [1]

On dit qu'une fonction définie sur un sous-ensemble ??D de R est

La période d'une telle fonction peut être inférieure à 2 ; c'est le cas par exemple de l'application qui est et qui admet pour période fondamentale

Proposition 2.2La somme d'une série trigonométrique est une fonction -périodique.

Démonstration : soit est un série trigonométrique qui converge en . Pour tout , on a :

Et

Ces relations sont encore valables si . On en déduit que les deux séries

Sont égales. Elles ont donc la même somme. ???

II. 1. 2. FORME COMPLEXE D''NE SERIE TRIGONOMETRIQUE [8]

En appliquant les formules d'Euler, nous obtenons une nouvelle forme, dite complexe. Ecrivons en effet,

Alors,

Ordonnons les termes entre crochets :

Posons

Nous remarquons déjà que ces deux coefficients sont des nombres complexes conjugués :

La série peut donc s'écrire sous la forme complexe :

Ainsi, nous pouvons considérer une série trigonométrique comme une série des fonctions de la forme , où est un nombre complexe, mais où, cette fois, l'ensemble des indices est Z, et non plus N.

II.2 FONCTIONS ORTHOGONALES [8]

Considérons l'espace vectoriel sur R des fonctions continues sur un même intervalle [a, b] de R à valeurs réelles, où

L'application

Est une fonction bilinéaire symétrique satisfaisant aux deux conditions suivantes :

a. Pour tout élément , le nombre réel est positif ;

b. Le nombre réel est nul si et seulement si la fonction est nulle.

Ainsi, on dit que des fonctions sont orthogonales si leur produit scalaire est nul, c'est-à-dire si

Exemple 2. 1 Soient [-1, 1] et les fonctions

II.3. SERIES DE FOURIER

Définition 2. 2 [8] soit une fonction définie sur R à valeurs réelles, intégrable sur tout intervalle de longueur

Nous nous proposons d'étudier l'existence et l'unicité d'une s&rie trigonométrique convergent en tout point x deR et telle que

Supposons d'abord qu'il existe une telle série trigonométrique. Nous allons montrer que l'on peut démontrer les coefficients d'une manière et d'une seule. L'unicité de la série trigonométrique cherchée.

Cette méthode nous fournira en même temps des formules constamment utilisées en pratique pour le calcul effectif des coefficients.

Calcul de : Intégrons les deux membres de la relation entre

Admettons que l'on puisse intervertir les symboles

Puisque, pour tout entier naturel non nul n,

D'où,

Cette intégrale n'est autre que la valeur moyenne de sur l'intervalle considéré.

Calcul de Multiplions les deux membres de par et intégrons entre et

Intégrons les symboles

Par orthogonalité des fonctions et pour tout

Ainsi que celle des fonctions et pour tout entier autre que ,

D'où,

Car

Aux notations près, pour tout naturel non nul n,

Calcul de [8] Multiplions les deux membres de par puis intégrons entre .

Admettons que l'on intervertisse les symboles

Par orthogonalité des fonctions pour tout entier autre que

Ainsi que celle des fonctions et pour tout entier autre que ,

D'où,

Car

Aux notations près, pour tout naturel non nul n,

Exemple 2. 2 [1] considérons une fonction Trouver sa série de Fourier.

Solution : calculons d'abord les coefficients de Fourier.

En intégrant par parties, posons :

Posons toujours en intégrant par parties

Donc, la série de Fourier de la fonction donnée est :

Si est paire,

Si est impaire,

II.4 CONVERGENCE ET SOMME DES SERIES DE FOURIER

Théorème 2. 1[8] (de Lejeune-Dirichlet) : soit une fonction numérique définie sur R, admettant pour période, continûment dérivable sur le complémentaire d'une partie finie On suppose que admettent des limites à gauche et des limites à droite en tout point de . Alors la série de Fourier de converge en tout point sa somme est égale à

C'est-à-dire à la somme des limites à gauche et à droite de au point

En particulier, en tout point est continue,

En plus, si est continue sur , la série de Fourier de converge absolument et uniformément vers .

Démonstration : dans [8], le théorème 2.1 assurant l'existence d'un développement en série de Fourier est énoncé sans démonstration. Nous nous aspirons de [1] alors pour le démontrer.

Pour tout réel , notons la limite de à gauche en

la limite de à droite en et

(

Notons que est un point où est continue, alors Pour montrer que le théorème 2.1, nous allons montrer que la suite des sommes partielles associée à la série de Fourier de converge et a pour limite

D'après la formule de Dirichlet, la somme partielle en est donnée par

Où est une fonction définie sur par

Puisque

Et que

On a (t) dt.

Considérons la fonction de dans R définie par

Comme par hypothèse est dérivable par morceaux, les deux limites suivantes existent :

De plus comme on a :

Ainsi, la fonction est prolongeable par continuité en 0 en posant . Comme est et dérivable par morceaux sur 0, et par conséquent intégrable sur 0, . On déduit que :

Ainsi donc, la suite converge et a pour limite

II.5 CAS D'UNE PERIODE QUELCONQUE. [8]

En physique, on rencontre des fonctions admettant une période pour tout nombre réel

La variable représente souvent le temps.

On se ramène au cas de la période grâce au changement de variable

Le nombre s'appelle fréquence fondamentale ou pulsation angulaire de récurrence. Les multiples de la fréquence fondamentale, où sont appelés Harmoniques.

La série de Fourier d'une fonction admettant pour période est définie par la formule :

Les coefficients de Fourier sont donnés par les formules :

II.6 CALCUL PRATIQUE DES COEFFICIENTS DE FOURIER [8]

Le calcul des coefficient de Fourier d'une fonction périodique est généralement long et fastidieux.

Corolaire 2. 1 [8] soit une fonction définie sur R, 2 périodique et intégrable sur .

- Si est paire, alors pour tout on a et

- Si est impaire, alors pour tout on a et

Démonstration : supposons que est paire, et considérons . En utilisant la relation de chasles, on obtient pour tout :

La fonction étant impaire, le changement de variable implique que

Ce qui implique que

On obtient aussi en utilisant le changement de variable , compte tenu de la parité de que pour tout

Cela implique que pour tout

Et que

Dans le cas où est impaire, les relation données s'obtiennent de façon similaire. ?

II.7 FORME COMPLEXE D'UNE SERIE DE FOURIER [8]

La série de Fourier d'une fonction satisfaisant aux conditions du théorème de Léjeune-Dirichlet peut se mettre sous la forme complexe en tout point x où elle converge. Dans ces conditions, nous pouvons écrire :

Où

Nous allons montrer que les coefficients s'expriment simplement en fonction de sous la forme d'intégrales, voire plus simplement que les coefficients .

Appliquons en effet les formules d'Euler :

De même

Il en découle aussitôt que

On remarque que Les coefficients de Fourier sous forme complexe sont donc deux à deux conjugués. De plus, on passe de la formule à la formule en changeant et . Enfin, lorsqu'on remplace par dans l'une ou l'autre de ces formules, on trouve :

Ainsi, la formule est valable non seulement pour tout entier naturel non nul , mais aussi

En résumé,

Où, pour tout entier rationnel

Le cas d'une fonction de période se ramène au précédent, grâce encore au changement de variable.

Ainsi,

Où, pour tout

Dans le cas où il est nécessaire de retrouver le coefficient réel à partir des coefficients , il suffit de remarquer que

[8]

CHAPITRE III : APPLICATION DES SERIES DE FOURIER A L'INTEGRATION DE QUELQUES EDP LINEAIRES DU SECOND ORDRE.

III.1. METHODE DE SEPARATION DES VARIABLES

La méthode de séparation des variables, communément appelée de Fourrier, est largement utilisée aux EDP. Elle consiste à chercher des solutions particulières de la forme où X et Y sont des fonctions en x et y respectivement. Dans des nombreux cas, l'EDP se réduit à deux équations différentielles ordinaires pour X et Y. on obtient donc des problèmes aux limites impliquant des EDO. Cependant, la question de séparabilité d'une EDP en deux équations différentielles ordinaires au plus n'est pas toujours possible.

II.2 EQUATION DE LA CHALEUR

Considérons le problème sur l'intervalle [O, L] avec L 0 constitué de l'équation de la chaleur avec les conditions aux limites de type Dirichlet et la condition initiale

Où f est une fonction donnée et K une constante positive.

Pour ce problème, nous cherchons à déterminer des solutions non triviales de la forme où et sont des fonctions de x et t respectivement ayant au moins des dérivées premières et secondes continues.

ETAPE 1 : Remplaçons dans l'équation on obtient :

Puisque et sont des variables indépendantes, cette relation implique qu'il existe une constante appelée constante de séparabilité telle que :

Comme nous cherchons des solutions ne s'annulant pas identiquement, alors il existe

Conséquemment on obtient :

L'équation conduit au système d'EDOs suivant :

Et

Où est une constante (appelée valeur propres aux problèmes) aux limites.

ETAPE 2 : Commençons d'abord à résoudre le système . Une solution non triviale de est appelée fonction propre avec la valeur propre (constante de séparation), en distingue 3 cas :

1^er cas : si alors

où sont des constantes arbitraires.

Les conditions aux limites donnent :

De la première équation, on a la seconde équation implique donc :

Alors si , nous obtenons , ceci n'est pas possible car sont différent de 0 et par conséquent

Alors dans ce cas pour tout .

Nous devons donc exclure le cas de

2^ème CAS : si nous obtenons

Où sont des constantes arbitraires.

Les conditions aux limites impliquent

Comme , il est claire que , alors dans ce cas et pour tout Nous devons donc exclure ce cas =0.

3^ème CAS : alors

Où sont sont des constantes arbitraires.

Les conditions aux limites impliquent

Pour éviter la solution triviale on suppose que Ceci implique que Conséquemment

Il résulte que

Sont des valeurs propres de et les fonctions caractéristiques du problème est :

Comme pour tous il suffit donc de considérer

,

Il reste maintenant à résoudre le problème La solution de ce dernier est donnée par

A la fin de cette étape, nous pouvons considérer qu'on a bien construit une base hilbertienne.

ETAPE 3 : Utilisons maintenant le principe superposition générale pour générer à partir de et une solution plus générale du problème sous la forme d'une série infinie de solutions séparées. Nous avons ainsi obtenu la suite de solutions séparées :

Par principe de superposition impliquant que toute combinaison linéaire

La fonction est solution de l'équation de la chaleur.

Ceci conduit immédiatement à la question : peut-on écrire une fonction quelconque nulle pour sous la forme d'une série

?

La réponse est positive, comme on va le voir. Pour étudier la possibilité de en série de , on se ramène au cas bien connu des fonctions périodiques. On suppose que est continue sur , avec afin que les conditions aux limites soient vérifiées par la donnée initiale. On commence par prolonger sur en posant pour . Puisque , on peut encore prolonger à tout R en fonction continue, impaire et -périodique. De plus, si est de classe sur la fonction prolongée est par morceaux sur tout R. Avec ces hypothèses sur , le prolongement de , que l'on notera encore , se développe en séries de Fourier selon

Ce qui assure la convergence en tout point Les sont des coefficients de Fourier trigonométriques impaires de , le coefficient paire étant nul car est impaire.

Existence et unicité de la solution de l'équation de la chaleur :

L'analysemenée dans la section précédente permet d'obtenir un candidat solution de l'équation , et donc d'énoncer la proposition suivante :

Proposition  : soit avec . On peut prolonger en fonction impaire et périodique, que l'on note encore .

Notons

Son développement en série de Fourier, alors la fonction

est solution du problème avec régularité

Démonstration : posons pour tout

Les fonctions sont de classe sur . comme est continue et par morceaux, la série des coefficients de Fourier converge absolument,

La majoration

Valable pour tout démontre alors la convergence normale de la série de fonction sur cet ensemble. Ainsi, est continue sur

Soient Pour tout on a la majoration

Avec bornée car la série converge, donc, converge vers Nous avons donc la convergence uniforme de toutes les dérivées sur Ainsi est de classe sur pour tout et donc sur On peut alors dériver la série de terme à terme sur cet ensemble, ce qui donne

Pour tout

On peut maintenant se poser la question de l'unicité de la solution. Pour commencer, on annonce un principe de maximum pour l'équation de la chaleur.

Lemme 3.1 : soit Soit telle que

soient alors

Autrement dit atteint son maximum pour ou et

Démonstration : soit qui vérifie donc Soit un point de où atteint son maximum sur Supposons par absurde que Alors :

· donc, et

· donc,

Ainsi , ce qui contredit Donc, et

En prenant la limite quand on obtient

Théorème 3. 1 (d'unicité) le problème admet une solution unique

Démonstration : soit deux solutions de . Posons alors est aussi solution de et

Fixons puisque entraînent En faisant de même avec on obtient , d'où , pour tout Puis que T est arbitraire, on a bien

comment calculer les coefficients .

Remarquons :

Par conséquent, les coefficients de Fourier sont donnés par :

Puisque est orthogonale, nous obtenons la formule explicite de la solution formelle, qui est donnée par :

Où

III.2. EQUATION DES ONDES

L'équation des ondes sur l'intervalle [0, L] avec dans est donnée par

INTEGRATION DU PROBLEME

En fait, par la méthode de Fourier, posons

Et portons dans , l'équation devient :

Comme nous cherchons des solutions non triviales identiquement, alors il existe Par conséquent, nous obtenons le système

Car les membres de gauche et de droite dépendent des variables indépendantes respectivement. C'est-à-dire que est constante (il existe )

Avec les conditions aux limites, on cherche les solutions non nulles de :

Les solutions dépendent de la constante

1^er CAS : si alors

En tenant compte des conditions aux limites, la solution vient :

Il n'y a pas de solutions non nulles dans ce cas.

2^ème CAS : si alors

Pour tout c'est-à-dire il n'y a pas de solution non nulles dans ce cas.

3^ème CAS : si alors

ou bien

Il existe donc des solutions non nulles dans ce cas qui sont :

Associées aux valeurs propres de

Au total, on a obtenu une suite infinie de solutions associées chacune à une valeur de On appelle les solutions les fonctions propres du problème et les les valeurs propres associées.

La fonction propre, comme les vecteurs propres en algèbre linéaire, est définie à un scalaire multiplicatif près.

Le produit scalaire

orthogonalise toujours la suite des

Si

Si

On résout l'équation pour les valeurs de trouvées précédemment et sans se préoccuper de la condition initiale. a pour solution lorsque .

Comme il n'y a pas de conditions initiales à cette EDO nous trouvons un espace vectoriel de dimension 2 de solutions

sont des conditions arbitraires.

A ce stade, les fonctions

Sont solutions de et des conditions aux limites et

Mais pas de condition initiale.

Réécrivons la solution comme somme de toutes les solutions élémentaires (par principe de superposition).

Où sont des constantes arbitraires.

Déterminons maintenant les coefficients grâce aux conditions initiales

Les constantes peuvent donc s'interpréter comme étant les coordonnées de la décomposition de dans la base soit

Quant à la condition elle donne

Nous obtenons donc

III.3 EQUATION DE LAPLACE

L'équation de Laplace dans est donnée par :

Par cette méthode, on pose toujours où sont fonctions données.

Dans ce cas, les conditions de comptabilité sont :

En remplaçant par dans l'équation , on obtient

Et donc, il y a une constante ë telle que :

La condition devient : si non

Cherchons les valeurs propres et les fonctions propres du problème aux limites :

Nous trouvons que le spectre est

Où

Et une fonction propre associée à est

Pour la solution générale de

Est

Où A et B sont des constants arbitraires.

Les solutions de sont :

Est une solution générale de l'équation quelque soit N?N et les coefficients .

Essayons de choisir N, et afin de satisfaire les conditions aux limites qui deviennent :

Ceci montre formellement

Dans ce cas, on peut déterminer N, et de la manière suivante :

Si nous pouvons écrire :

Où tous, sauf le nombre fini, les coefficients et sont nuls.

Nous calculons en multipliant par et intégrons entre 0 et L.

De même façon,

Donc, il suffit de choisir et tels que

Où

La solution su système est :

La méthode de Fourier nous a permis donc de résoudre le problème pour des fonctions

Dans ce cas, la solution du problème sous forme de séries de Fourier est :

L'hypothèse que assure seulement qu'un nombre fini de constantes sont nuls et donc il s'agit des sommes.

Notons que la solution vérifie les conditions de comptabilité et est infiniment dérivable.

III.4 QUELQUES EXEMPLES [6]

Exemple 3. 4. 1 soit à résoudre dans l'EDP suivante :

D'après le résultat de l'EDP de la chaleur intégrée au point 3.2, dans le cas des conditions aux limites du type DIRICHLET avec la solution est donnée par l'expression

Alors, calculons les coefficients de Fourier sachant que

Les coefficients de Fourier sont donnés par :

Dans le cas où une solution triviale.

Considérons le cas où

D'où la solution :

Exemple 4. 2 considérons dans l'EDP suivante :

D'après le résultat du problème d'Ondes au point 3.3. avec la solution est donnée par :

Etant une série de Fourier, calculons les coefficients de Fourier

Posons

Posons et

D'où la solution

Exemple 3. 4. 3 soit à résoudre dans l'EDP :

D'après le résultat de l'EDP de Laplace avec la solution est donnée par l'expression :

Calculons alors les coefficients de Fourier :

Par la méthode de changement de variable, posons

D'où la solution générale 

BIBLIOGRAPHIE

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