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Calcul de la fluctuation du nombre moyen de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique en utilisant la distribution grand canonique de Gibbs

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par Emmanuel MANIRAFASHA
Kigali Institute of Education - Licence 2007
  

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CHAPITRE I : LA POSITION DU PROBLEME ET LA REVUE DE LA LITTERATURE

I.1.Introduction

Dans la pratique, nous avons affaire aux systèmes macroscopiques, c'est-à-dire constitués par un grand nombre de particules (atomes, molécules, etc.). D'où l'importance de l'application des méthodes statistiques pour l'étude de tels systèmes.

Par ailleurs, c'est la mécanique quantique qui décrit correctement le comportement des microparticules constituant un macrosystème. Le modèle du gaz parfait joue un rôle important en théorie statistique et sert de départ pour l'étude des systèmes plus compliqués. La distribution grand canonique de Gibbs, quoique conceptuellement plus élaborée, simplifie les calculs physiques sur les systèmes quantiques.

Nous savons que n'importe quel système possède des grandeurs le caractérisant, qui varient en oscillant autour de leurs valeurs moyennes. La fluctuation nous permet de connaître les écarts à la moyenne.

Lors de l'étude du comportement et des propriétés des corps macroscopiques formant des systèmes simples, on utilise les modèles de la mécanique classique ou de la mécanique quantique. D'après les études faites, il s'avère que la description complète du comportement et les propriétés des systèmes constitués par un grand nombre de particules (c'est-à-dire ayant un grand nombre de degrés de liberté) en utilisant ces modèles est pratiquement impossible. Il est donc nécessaire de recourir à une théorie permettant d'étudier le comportement d'un système avec un grand nombre de degrés de liberté.

Pour appliquer les méthodes de la mécanique, bien que nous puissions utiliser la mécanique classique, il est indispensable d'écrire et de résoudre un nombre égal à N équations différentielles ordinaires du deuxième ordre, ce qui est pratiquement impossible lorsque N est très grand.

Remarquons que même si l'on pouvait écrire la solution générale de ces équations différentielles, il serait absolument impossible d'y introduire les conditions initiales pour les vitesses et les coordonnées de particules, ne serait-ce qu'à cause du temps et de la quantité de papiers nécessaires.

La question ne se pose pas uniquement au niveau pratique, mais aussi du côté technique, nous ne pouvons pas trouver un programme dans l'ordinateur qui peut résoudre ce problème, du moins à l'heure actuelle[5] et [6].

La physique statistique ou mécanique statistique est une branche de la physique théorique qui étudie les lois particulières régissant le comportement et les propriétés des corps macroscopiques, c'est-à-dire des corps composés d'une énorme quantité de particules (atomes, molécules, etc.) en utilisant le modèle microscopique.

Donc, lorsque le nombre de particules augmente les propriétés du système mécanique deviennent essentiellement compliquées et il y a l'apparition des lois statistiques dont leur caractère diffère essentiellement de celui de lois mécaniques. L'importance de la physique statistique au sein de la physique théorique provient du fait que, le plus souvent, dans la nature, nous avons affaire à des corps macroscopiques qui peuvent être eux- mêmes composites en molécules, atomes, électrons, quarks, etc. dont le comportement ne peut être complètement décrit par des méthodes purement mécaniques. On dit que ces corps obéissent aux lois statistiques. La description selon les lois statistiques utilise deux modèles :

Le modèle classique qui est un système de N points matériels en mouvement selon les lois de la mécanique classique. La physique statistique classique est construite sur les principes fondamentaux de la théorie classique des états d'équilibre.

Le modèle quantique qui est un système de N points matériels en mouvement selon les lois de la mécanique quantique. Donc, la physique statistique quantique se construit sur les principes fondamentaux de la mécanique quantique [6].

La physique statistique quantique doit être étudiée en considérant la physique classique comme un cas limite qui ne serait approximativement exacte que dans les conditions déterminées. La physique statistique ne fournit des résultats corrects que dans le cas d'un choix heureux du modèle du système, ce choix ne pouvant souvent être justifié qu'après recours aux conceptions quantiques [7].

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