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Calcul de la fluctuation du nombre moyen de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique en utilisant la distribution grand canonique de Gibbs

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par Emmanuel MANIRAFASHA
Kigali Institute of Education - Licence 2007
  

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II.2.Calcul de la fluctuation du nombre moyen de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique en utilisant la distribution grand canonique de Gibbs

La formule (1.8) de la distribution grand canonique quantique, lorsque la grandeur est concrètement connue, permet de calculer les fonctions des nombres de remplissage, en utilisant l'astuce mathématique, comme nous l'avons fait au sous-chapitre II.1, lors du calcul de (voir 2.7)

Trouvons  :

(2.24)

Mais (2.25)

En tenant compte de (2.24) et (2.25), nous écrivons :

(2.26)

De (2.25), on sait que le dénominateur dans l'équation (2.26) est égale à, ce qui donne :

(2.27)

En posant, on obtient :

(2.28)

C'est-à-dire :

(2.29)

Dans le cas particulier où les niveaux énergétiques k et l sont égaux, de la formule (2.29), on obtient :

(2.30)

Avec qui présente la dispersion du nombre de remplissage des niveaux énergétiques.

La valeur moyenne du nombre de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique est donnée par :

(2.31)

En utilisant l'expression (2.31) dans l'expression (2.30), on obtient :

(2.32)

L'expression (2.32), est la formule de la dispersion du nombre de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique en général.

La fluctuation du nombre de remplissage des niveaux d'énergie s'obtient à partir de la dispersion par la relation :

(2.33)

En utilisant l'expression (2.32) dans l'expression (2.33), on obtient :

(2.34)

L'expression (2.34), est la fluctuation du nombre de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique.

Pour un gaz parfait de Bose, on obtient :

Pour un gaz parfait de Fermi, on obtient :

Pour un gaz régi par la statistique de Boltzmann, on obtient : .Ainsi, on voit que l'expression pour l'écart quadratique moyen du nombre de remplissage des niveaux énergétiques dans le cas d'un gaz parfait est la même que l'expression obtenue dans le cas classique.

Cette expression classique est obtenue comme suit :

Dans le cas classique, il n'y a pas de niveaux énergétiques. La valeur moyenne de particules se trouvant dans l'intervalle d'énergie est obtenue à partir de la distribution classique de Maxwell-Boltzmann. Cette valeur est sous la forme :

La dispersion du nombre de particules se trouvant dans l'intervalle d'énergie est calculée comme suit :

La fluctuation du nombre de particules se trouvant dans l'intervalle de l'énergie est calculée comme suit :

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