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Calcul de la fluctuation du nombre moyen de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique en utilisant la distribution grand canonique de Gibbs

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par Emmanuel MANIRAFASHA
Kigali Institute of Education - Licence 2007
  

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CHAPITRE II: CALCUL DE LA FLUCTUATION DU NOMBRE DE REMPLISSAGE DES NIVEAUX ENERGETIQUES POUR UN GAZ PARFAIT QUANTIQUE EN UTILISANT LA DISTRIBUTION GRAND CANONIQUE DE GIBBS

II.1. Calcul de la valeur moyenne du nombre de remplissage des niveaux énergétiques, pour un gaz parfait quantique

A l'aide de l'expression (1.8), on peut calculer les valeurs de n'importe quelle fonction des nombres de remplissages si on connaît. On peut par exemple calculer :, , , .

Pour la raison de commodité, nous allons utiliser l'astuce mathématique suivant : nous allons considérer comme si le gaz parfait ne possède pas un seul potentiel chimique u mais tout un ensemble de potentiels chimiques. A la fin des calculs, nous allons supposer que tous les potentiels chimiques ul sont les mêmes et sont égaux à u. Donc nous pouvons écrire à partir de l'expression (1.8) 

(2.1)

La condition de normalisation conduit à :

(2.2)

C'est-à-dire :

(2.3)

En posant

(2.4)

L'équation (2.3) prend de la forme :

ou (2.5)

et nous obtenons :

(2.6)

est la fonction de partition grand canonique ou somme des états quantique ou somme statistique pour un système à nombre variable de particules.

En mettant l'équation (2.4) dans l'équation (2.6) puis en dérivant l'équation (2.6) par rapport à, nous arrivons à la valeur du nombre de remplissage .

(2.7)

L'équation (2.7) représente la valeur moyenne du nombre de remplissage des niveaux énergétiques. Le calcul concret de en utilisant la formule (2.7) nécessite une connaissance précise de la grandeur.

Un gaz parfait quantique de particules identiques peut être constitué, soit par les particules avec spin demi-entier appelées fermions, soit par les particules de spin entier appelées bosons.

Pour les fermions est valable le principe d'exclusion de Pauli : deux ou plusieurs particules identiques ne peuvent pas se trouver exactement dans un même état quantique. Ce fait peut être considéré de la façon suivante. Il faut poser

(2.8)

Dans ce cas :

(2.9)

(2.10)

D'où (2.11)

Le nombre moyen de remplissage des niveaux énergétiques est obtenu en remplaçant l'expression (2.11) dans l'équation (2.7), ce qui donne :

(2.12)

Comme la dérivé de la somme est égale à la somme des dérivés, l'expression (2.12) peut s'écrire :

En posant, on obtient :

(2.13)

En multipliant le dénominateur et le numérateur de l'expression (2.13) par , on obtient :

(2.14)

Avec

L'expression (2.14) c'est le nombre moyen de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait constitué par les particules avec un spin demi-entier.

Dans le cas des bosons, il faut poser

(2.15)

ce qui va nous conduire à la statistique de Bose Einstein, dans ce cas :

(2.16)

Avec quelconque : et

(2.17)

Ce qui conduit à :

(2.18)

En remplaçant l'expression (2.18) dans l'expression (2.7), nous obtenons :

(2.19)

Comme la dérivé de la somme est égale à la somme des dérivés, l'expression (2.19) peut s'écrire comme suit :

En posant, on obtient :

(2.20)

En multipliant le dénominateur et le numérateur de l'expression (2.20) par , on obtient :

(2.21)

Avec

L'expression (2.21) n'est rien d'autre que le nombre moyen de remplissage des niveaux énergétiques pour un gaz parfait quantique constitué par les particules de spin entier.

A la limite, lorsque >>È, de (2.14) et (2.21) on trouve :

(2.22)

Les formules (2.14), (2.21) et (2.22) peuvent s'écrire sous la forme unique suivante :

(2.23)

est une constante, qui est égale soit :

pour un gaz parfait de Fermi,

pour un gaz parfait de Bose,

pour un gaz parfait de Boltzmann [1], [2] et [5].

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