Notre objectif est de valoriser le CDS, afin de
déterminer sa valeur, il nous semble utile d'introduire la notion de
triangle de crédit, qui nous dit que la valeur du crédit
dépend de trois principaux facteurs que sont :
· Le spread (s) que nous devons calculer;
· L'intensité de défaut (ë)
· Le taux de recouvrement (R)
Revenons au fonctionnement du CDS, l'acheteur doit verser de
façon régulière et ce jusqu'à
l'évènement déclencheur le premium (à moins que la
maturité soit atteint) qui dans la théorie est une partie
fixe.
Comment pourrait-on évaluer le paiement final
?
Appelé Défault Leg, il représente le
payement du vendeur en cas de défaut. Nous l'appellerons JV pour
signifier Jambe Variable. On a :
Avec
On obtient alors
Comment calcule-t-on le premium ?
Il s'agit du paiement régulier que nous nommerons par JF
: la jambe fixe (payment leg) qui se paie jusqu'au défaut ou à la
maturité dans le cas où il ya pas eu de défaut. On a :
Avec : , étant le spread et , la volatilité.
représente l'instant de paiement du spread.
Nous allons considérer que l'instant de défaut suit
une loi de poisson d'intensité ët. En conditionnant, on
déduit :
Et
Afin d'obtenir le spread, nous devons déterminer la
valeur de s qui annule le swap. Il s'agit d'égaler les jambes
du swap de façon à obtenir JF=JV, il en résultera :
Dans le cas où l'intensité de défaut et le
taux de recouvrement sont constants, on peut
approcher le spread du CDS en avançant
l'égalité :
Dans ce cas, la valeur actuelle des premiums est :
Quand à la valeur présente de la perte
espérée, elle sera :
La valeur présente de la perte espérée se
fait appelé : Net Present Value (NPV).
On a:
avec : = taux sans risque, = payout ratio, =
volatilité
Le fait est que la réalité est beaucoup plus
complexe, ce qui rend le paramétrage des intensités de
défaut essentiels pour le pricing des dérivés de
crédit. Cette complexité justifie la mise en place d'une
méthode de modélisation appropriée.
