B. Méthodes de modélisation du temps de
défaut
Les méthodes de modélisation des temps de
défauts d'un portefeuille de crédit sont nombreuses, on retient
trois grandes classes de modèles que sont :
· Le modèle structurel,
· Le modèle à formes réduites,
· Le modèle à copules gaussien.
1. Le modèle structurel
Les actifs suivent des distributions log-normaux de types
browniens corrélés. Le défaut se défini dans ce
contexte comme t'atteinte d'une barrière de dette.
Décrit pour la première fois par Robert Brown,
le mouvement brownien représente la description mathématique du
mouvement aléatoire d'une particule immergée dans un liquide et
qui est soumis à des chocs avec de plus petites molécules
environnantes.
Son application aux dérivés de crédit,
ici le CDS est toute simple. Nous pouvons décomposer l'évolution
du taux de recouvrement en une tendance géométrique qui a une
forme exponentielle. Ce qui signifie que dans un environnement certain il
grimpe mais l'environnement est incertain, il se dégrade de
manière exponentielle : il faut donc s'attendre au pire.
Soit W le mouvement brownien, on a : .
Il est un mouvement brownien à valeur dans si les
coordonnées
sont des mouvement browniens (dans ) indépendants.
Le mouvement est vectoriel de manière
équivalente avec : W à trajectoires continues et à
accroissement indépendant. Pour tous est un vecteur gaussien
centré de variance
Prenons en considération le caractère commun des
trois modèles structurels connus à savoir : Leland (1994), Leland
& Toft (1996) et Fan & Sundaresan (1996). Leur facteur commun est la
valeur des actifs de la firme.
L'inconvénient est que les modèles structurels
ont du mal à rendre compte d'une manière convenable de la
structure des spreads ainsi que de leur sensibilité à certaines
variables (comme le taux d'intérêt). Ils ne rendent pas compte,
par exemple, de la non convergence vers 0 des spreads de crédit sur
échéance courte.
2. Le modèle à forme
réduite
Dans ce cas, on modélise des intensités de
défaut stochastiques de manière à ce qu'elles soient
corrélées. Le temps de défaut y est défini de
manière exogène25.
La qualité de ce modèle est sa souplesse : les
paramètres du modèle peuvent aisément être
estimés à partir de l'observation de la structure des spreads de
crédit.
La contrainte vient du fait de sa rupture avec le
conventionnel car le lien n'est pas fait entre les variables économiques
de base notamment le taux du marché et l'évènement de
défaut. Le pricing se trouve donc exposé à deux (2)
facteurs que sont : le risque de défaut et celui de l'évolution
des taux.
3. Le modèle à copule
gaussienne
A chaque défaut spécifique, l'on associe un
calcul de probabilité. Les probabilités n'étant pas
connues, il est courant de supposer que les moments de défauts suivent
une distribution normale multi-variée à N dimensions.
Dans un modèle de copule gaussienne à un
facteur, les corrélations des moments de défaut sont tenues
égales et constante pour toutes les signatures. On suppose donc qu'il ya
une correspondance directe entre une variable aléatoire latente Xi et
les moments de défauts. L'évolution de Xi est donnée par
:
Où M est la variable aléatoire à
distribution normale, Zi une série de variables aléatoires
à
distribution normale et non corrélées entre elle et
la corrélation constante entre le
moment de défaut26.
Xi est la valeur des actifs détenus par l'entité i
qui fait défaut quand la valeur de ses actifs passe en dessous d'un
seuil donné. Une idée proche de celle de Merton.
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