I.3. L'approche de JOHANSEN de la cointégration
L'avantage de la procédure de Johansen et Juselius
(1990) est qu'elle permet premièrement de tester l'existence d'une ou de
plusieurs relations de cointégration entre les différentes
séries. Ainsi cette approche évite l'application en deux
étapes de la procédure d'Engel-Granger qui ne permet que d'avoir
une seule relation de cointégration. Cette approche a également
l'avantage de prévenir les problèmes de
simultanéité. Enfin l'hypothèse de
l'éxogénéité des variables n'est plus fondée
et il n'est plus nécessaire d'imposer de restrictions sur les
coefficients estimés pour déterminer les relations de court
terme.
Le point fort de la méthode de Johansen est qu'elle
détermine le nombre de relations de cointégration entre les
séries. La méthode de Johansen est donc un test multi
varié qui consiste à déterminer le nombre de relations (ou
vecteurs) de cointégration pour les séries
étudiées.
Une augmentation (diminution) du nombre de relations est
interprétée comme un accroissement (baisse) dans la
stabilité et l'intensité des relations de long terme des
séries.
Selon Johansen (1988) et Johansen et Juselius (1990) le
modèle à estimer pour mettre en évidence le nombre de
vecteurs de cointégration qui est basée sur la fonction de
maximum de vraisemblance peut être mise en oeuvre à partir des
équations suivantes :
Soit à l'aide d'un VAR(p) de la forme
suivante :
Où xt est un vecteur de k variables non stationnaires
ou I(1).
sont les matrices des coefficients à estimer,
est le terme constant
représente le vecteur des termes
aléatoires supposés non corrélées.
Sous forme de différences premières, ce VAR en
niveau s'écrit sous la forme suivante :
Avec ou
Et ou
Le théorème de la représentation de
Granger stipule que si le coefficient de la matrice est de rang r tel que r
< n alors il existe nr matrices et telles que et est stationnaire. La
matrice contient l'information pertinente à la dynamique de court terme
des variables endogènes. r est le nombre de relations (vecteurs) de
cointégration et les colonnes de la matrice représentent les
vecteurs de cointégration. Ils décrivent l'équilibre ou
les équilibres de long terme entre les variables. Enfin, est un vecteur
de vitesse d'ajustement. Il capture la vitesse à laquelle les variables
reviennent à l'équilibre de long terme après un choc.
La procédure de Johannsen (1991,1995) consiste alors
à estimer la matrice sans imposer de restrictions pour
déterminer le nombre de relations (vecteurs) de cointégration. La
statistique de test proposé est la trace ou le rapport (ratio) du
maximum de vraisemblance :
Avec T= nombre d'observations ;
= valeur propre
La statistique du rapport de vraisemblance (ou statistique de
la trace) teste l'hypothèse nulle selon laquelle le nombre de relations
de cointégration est plus ou moins égal à r contre
l'hypothèse alternative générale c'est-à-dire
contre de façon séquentielle en commençant par r=0
à r=k-1.
Alors trois cas peuvent se présenter :
·
rg =0 .cela signifie que r=0 : il n'existe pas de
relation de cointégration .dans ce cas Xt est intégré
d'ordre 1 mais non cointégrées. Il est alors possible d'estimer
un modèle var (p-1) sur .
·
rg =r ; avec 0<r< n. cela signifie que est
cointégrées de rang r et qu'il existe donc r relations de
cointégration. Un modèle à correction d'erreur peut alors
être estimé.
·
rg = n, donc est de plein rang. Dans ce cas il n'existe pas
de relation de cointégration .un modèle var(p) peut être
estimé directement sur.
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