I.1. Analyse des Séries Chronologiques
I.1.1. Méthode de
décomposition
Une série chronologique intègre une multitude de
signaux et de facteurs de variabilités qui se manifestent
différemment. On a coutume de distinguer trois composantes principales :
la tendance, les variations saisonnières et les variations
résiduelles. Les hypothèses appliquées sur la tendance et
la saisonnalité se ramènent au schéma additif et au
schéma multiplicatif (CALOT, 1973).
Dans le schéma additif, la série chronologique
observée est modélisée sous la forme :
, tandis que dans le schéma multiplicatif on a :
(première forme) ou
(deuxième forme) avec :
: la tendance générale
appelé TREND qui peut être une tendance à la hausse
tendance positive) ou à la baisse (tendance négative).
: les variations saisonnières qui sont des fluctuations
périodiques s'inscrivant dans le cadre de l'année et qui se
produisent de façon plus au moins identique d'une année à
l'autre.
Par ailleurs, les séries chronologiques peuvent exhiber
un comportement pseudopériodique avec les cycles de plusieurs
années. Cependant, les cycles longs sont assimilés à la
tendance générale.
: les variations résiduelles ou
accidentelles qui sont des fluctuations irrégulières et
imprévisible, supposées en général de faible
amplitude et qui traduisent l'effet de facteurs perturbateurs non
permanents.
I.1.2.
Saisonnalité
La saisonnalité est l'un des phénomènes
les plus répandus dans la vie économique. Elle traduit la
tendance à répéter le comportement d'un modèle
au-delà de la période saisonnière
généralement une année.
Les séries saisonnières sont donc
caractérisées par l'exhibition d'une corrélation
très forte aux Lags saisonniers et leurs multiples.
Il est conventionnel dans l'élaboration de
modèles économiques d'écarter la saisonnalité dans
les séries par des méthodes d'ajustement saisonnier.
D'après JENKINS
(1978), ces méthodes sont :
ï Arbitraires, du fait qu'il n'existe pas une seule voie
pour effectuer la décomposition des séries chronologiques.
ï Inflexibles, du fait que ces méthodes utilisent
virtuellement la même méthode d'ajustement pour toutes les
séries, indépendamment de leurs propriétés
statistiques.
ï Pernicieuses (nuisible) dans leur effet sur les
séries ajustées, du fait qu'une partie de la tendance et des
séries résiduelles est effacée aussi ;
réciproquement, toute la saisonnalité n'est pas
écartée, laissant les corrélations derrière les
multiples de la période saisonnière.
ï Déroutantes, du fait que les données
originales sont perdues hors de vue.
ï Inefficace, dans le sens que les prévisions
obtenues par l'addition des prévisions de parties non
saisonnières et saisonnières des séries peuvent être
inexactes.
Ceci ne veut pas dire que l'ajustement saisonnier est non
utile. Mais au contraire, quand un modèle a été
élaboré, l'ajustement saisonnier peut être utilisé
pour séparer à la fois les séries et les prévisions
en composantes, de cette façon il est utilisé dans
l'interprétation des prévisions (BOX, HILLMER and TIAO, 1976).
I.1.3.
Stationnarité
Pour pouvoir comparer des observations prises en des temps
différents, il faut s'assurer que ces observations soient comparables,
c'est-à-dire ayant la même fonction de densité. En d'autres
termes, les séries doivent être stationnaires.
Pour un modèle stochastique, la
condition de stationnarité n'implique que la probabilité de
distribution est la même dans le temps, c'est-à-dire ou encore
pour t et m quelconques.
Ainsi, on se contente d'évoquer la stationnarité
faible définie par les deux conditions suivantes (JENKINS & WATTS,
1968) :
ï
la constance de l'espérance : ;
ï la covariance dépend uniquement du
paramètre k :
.
La fonction est la fonction d'auto covariance de. L'examen de
révèle la structure des variations observées.
I.1.4.
Autocorrélations
Les autocorrélations sont des mesures
statistiques qui indiquent comment une série est reliée à
elle-même à travers le temps.
La fonction d'autocorrélation simple
(ACF) théorique est :
L'autocorrélation échantillonnale : avec
Le graphe des autocorrélations rk est appelé un
« corrélogramme ».
En pratique, pour obtenir des estimations fiables rk , au
moins 50 observations sont nécessaires.
Les rk doivent êtres calculées jusqu'à un
délai K< N/4.
Interprétation
succincte :
ï
,
ï r1 est le niveau de corrélation de la
série avec elle-même décalée de 1 période,
ï
est le niveau de corrélation de la série avec
elle-même décalée de 2 périodes, etc.
ï Plus le coefficient rk est proche de 1 (ou -1), plus la
série est corrélée avec elle-même
décalée de k périodes.
ï La fonction d'autocorrélation permet de mettre
en évidence la présence d'une tendance ou d'une composante
périodique.
ï ï Autocorrélation partielle
(PACF)
ï Les auto-corrélations partielles (PACF) est un
autre ensemble de mesures statistiques utilisées pour identifier des
modèles de séries chronologiques.
ï
Elle est égale à la corrélation partielle
entre et, l'influence des autres variables décalées de k
périodes : ayant été retirée. PACF au
délai k est noté.
ï ï I.1.5. Bruit
blanc
ï
Les modèles de Box-Jenkins sont basés sur
l'idée qu'une série est générée à
partir de séries non corrélées ou
« chocs ».
ï
ï
{0 k?01 k=0
ï
Une telle série est appelée processus bruit
blanc.
ï ï I.2. Types de modèles
stationnaires
ï Dans ces modèles, plusieurs processus peuvent
être rencontrés : le processus moyenne mobile (MA), le processus
autorégressif (AR), le processus autorégressif de moyenne mobile
(ARMA), (ANDERSON, 1971).
ï I.2.1. Processus autorégressifs
AR
ï
Dans un processus autorégressif d'ordre p noté
AR(p), l'observation présente est générée par une
moyenne pondérée des observations passées jusqu'à
la période.
ï Formellement, les modèles AR(p)
s'écrivent de la façon suivante :
ï
ï Où :
ï
Terme constant
ï
Paramètres à estimer pouvant être
positifs ou négatifs.
ï
Ordre du modèle.
ï
Série aléatoire, elle mesure l'erreur de
prévision à partir des valeurs connues de.
ï
Le terme autorégressif est utilisé car c'est
essentiellement une équation de régression dans laquelle les
valeurs antérieures de la variable remplacent les variables
indépendantes.
ï
est généré par un processus de bruit
blanc, en plus si la série est stationnaire :
ï
, donc ou bien
ï
avec :
ï
D'autre part : ,
ï
De même : .
ï Une autre formulation utilisant l'opérateur
retard B est possible :
ï
Où =.
ï ï I.2.2. Processus Moyennes Mobiles
MA
ï
Ce processus permet de mesurer en fonction de l'accumulation
des erreurs actuelles et passées. Ainsi, un modèle moyenne mobile
d'ordre q pour lequel chaque observation est générée par
une moyenne pondérée d'aléas jusqu'à la
qème période est noté MA(q) et peut
s'écrire : où les paramètres à estimer
pouvant être positifs ou négatifs.
ï
: Moyenne de la série.
ï
: Ordre du modèle.
ï
: étant généré par un
processus de bruit blanc c'est-à-dire :
ï
ï
ï
avec
ï
Les signes « - » sont introduits par
convention. Un processus moyenne mobile d'ordre q est complètement
décrit par q +2 paramètres :
ï Ainsi, on peut établir les relations
suivantes :
ï
ï
==
ï ï La fonction d'autocorrélation de MA(q)
est donnée par :
ï
pour k= 1...q
ï
= 0 k>q
ï Une autre formulation utilisant l'opérateur
retard B est possible :
ï
où
ï ï I.2.3. Processus
ARMA
ï Les modèles ARMA sont représentatifs d'un
processus généré par une combinaison des valeurs
passées et des erreurs passées. Ces modèles, notés
ARMA (p, q) sont définis par une équation du type :
ï
ï Où :
ï
: la valeur courante de la série chronologique
ï
: ordre du modèle AR
ï
: ordre du modèle MA
ï
La valeur courante est reliée à p valeurs
antérieures de la série chronologique et aux valeurs
antérieures ou courantes des résidus.
ï ;
ï
, donc ou bien
ï
avec :
ï
D'autre part : avec k >= 2.
ï En utilisant l'opérateur retard B, le modèle
s'écrit :
ï
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