Les différentes notions d'inversibilité et applications

6 Représentations de l'inverse de Drazin

Th'eor`eme 6.1 Si 0 E isoa(a) et p l'idempotent a correspondant de a` A = 0. Alors

aD = lim),_,.0(Ae -- a)^-1(e -- p).

Preuve:

Comme

(Ae -- a)^-1 = Pn=8 n=1 A^--na^n^-1(e -- ab) -- Pn=8 n=0 Anbn+1

.

Alors

(Ae -- a)^-1(e -- p) = _ \^-`n⁰⁰ _An_bn+1

Z-,n=0

avec b = a^D,on fait tendre A vers 0 on obtient le résultat voulu. On sait que lorsque aⁿ 0 alors

(e -- a)^-1 = Pn=8

n=0 an

le Théorème suivant donne une généralisation lorsque aⁿ p =6 0. Th'eor`eme 6.2 Si aⁿ p. Alors ind(e -- a)< 1 et

(e -- a)^D = Pn=8

n=0 an(e -- p).

Preuve:

On remarque p² = p; Sic est défini par c = a --p,alors cⁿ = (a --p)ⁿ = aⁿ-- p 0 et cp = pc = 0. De plus p est un idempotent commutant avec (e -- a) tel que (e -- a)p = 0 et e -- a + p = e -- c E Inv(A) et par le théorème 4.2 [p.24] ,A = 0 cl o^-(e -- a) ou un pàole simple de (Ae -- e + a)^-1. Comme aⁿ(e -- p) = (cⁿ --p)(e --p) = cⁿ(e -- p),

n=o_E aⁿ(e -- p) = n=o_E cⁿ(e -- p) n=0 n=0

= (e -- c)^-1(e -- p)

= (e -- a + p)^-1(e -- p) = (e -- a)^D

On sait aussi que lorsque a est inversible et exp(ta) 0 (quand t co) alors

a^-1 = -- f08 exp(ta)dt.

Le théorème suivant donne une généralisation lorsque exp(ta) (a E A) converge mais pas nécessairement vers 0.

Th'eor`eme 6.3 Soit exp(ta) -~ p (quand t - oo). Alors s-index(a) 1, et

aD = - j000 exp(ta)(e - p)dt.

Preuve: On remarque p² = p; Si c est défini par c = a - p, alors

exp(tc) = exp(ta) exp(--tp) = exp(ta)(e - p + e_^tp) p(e - p) = 0 quand t - 0. d^'o`u a(c) se trouve dans le demi plan (negatif) et c est inversible. De plus,

ap = alims.~8 1 j0 s exp(ta)dt = lim_s.~8(exp(sa) - e) = p - e,

s

ce qui implique pc = cp = --p, on conclut que 0 ?6 acca(a) car a - p = c E Inv(A) donc a est Drazin inversible voir le théorème 2.2[p.45].

De exp(ta)(e - p) = exp(tc)(e - p) et exp(tc) - 0 (quand t - oo) on aura

Z0

_Z

8

exp(ta)(e - p)dt = 0 exp(tc)(e - p)dt

Z= (e - p) ₀ exp(tc)dt

= --c^-1(e -- p)

= --(a--p)^-1(e--p) = _a^D

Th'eor`eme 6.4 Soit a E A. Alors 0 E isoa(a) si et seulement si, il existe x, y E A tel que

a = x + y, xy = yx = 0, ind(x)=1, y QN(A).

Une telle décomposition est unique.

Preuve:

1. = Alors a^D = (x + y)^D = x^D + y^D = x^D car y est nilpotent donc y^D = 0. Donc 0 E isoa(a) par le théorème 4.2 [p.24],la décomposition est unique car x = (x^D)^D = (a^D)^D et par le théorème 4.1 [p.23] et l'unicité de l'inverse de Drazin.

2. = Si 0 E isoa(a) dont l'idempotent p a` A = 0.et soit x = a(e - p) , y = ap.

Alors y = ap E QN(A),xp = 0 et x + p = (a + p) - ap E Inv(A)(car ap est quasi-nilpotent, (a + p)^-1 est inversible et apet (a + p)^-1commute).donc ind(x)=1.

Lemme 6.1 [Jacobson] Soit a, b E A. Si e+ab est inversible,alors e+ba est inverible est (e+ba)^-1 = e - b(e + ab)^-1a.

Th'eor`eme 6.5 [forumle de Cline] Soient a, b E A. Si ab admet un inverse généralisé de Drazin, alors ba l'est et

(ba)^d = b((ab)^d)²a.

Preuve: Posons a = ab,0 = ba,p = e -- a^da et q = e -- ba^da,alors p E comm²(a) ,a + p E A^-1 et ap est quasi-nilpotent.

On doit montrer :0 + q E A^-1,0q est quasi-nilpotent et q² = q E comm²(0).

Remarquons que e + (a -- a^da)b = a + (e -- a^da) = a + p E Inv(A). Par le lemme de Jacobson ,

0 + q = 0 + (e -- ba^da) = e + b(a -- a^da) E A^-1.

Posons c = 0q. Alors

c = ba(e -- ba^da) = ba -- baba^da = b(e -- a^da)a = bpa

Soit z E A tel que cz = zc. Montrons que e -- zc E A^-1. De cz = zc,nous avons cz² = z²c c -- a` -- d

bpaz² = z²bpa

En multipliant a` droite par b et a` gauche par a on écrit :

ap(az²b) = abpaz²b = az²bpab = (az²b)ap.

Donc (az²b) E comm(ap). Or ap est quasi-nilpotent,alors

e -- ap(az²b) = e -- (apa)(z²b) E Inv(A).

En vertu du lemme de Jacobson on a (e -- (z²b)apa) est inversible. Et comme c² = bpabpa = bpapa = bapa et cz = zc, il vient

(e -- zc)(e + cz) = (e + zc)(e -- cz) = e -- z²c² E Inv(A).

Ainsi, (e -- zc) E Inv(A) par suite c est quasi-nilpotent. Montrons que q est idempotent. En effet :

q² = (e -- ba^da)(e -- ba^da) = e -- 2ba^da + ba^daa^da = e -- ba^da = q.

On a aussi

0q = ba(e -- ba^da) = ba -- baba^da = ba -- ba^daba = (e -- ba^da)ba = q0.

Soit y E A tel que y0 = 0y,donc y(ba) = (ba)y et parsuite (ayb)ab = ab(ayb),en multipliant a` droite par b et a` gauche par a, on obtient ayb E comm(a).

Comme a^d E comm²(a),ayb E comm(a^d). Il vient que ayb E comm(a^d -- (a^d)²),c -- a` -- d

Ainsi

et

Donc

ayb(a^d - (a^d)²) = (a^d - (a^d)²)ayb

bayb(a^d - (a^d)²)a = ybab(a^d - (a^d)²)a = yba(a^d - (a^d)²)a = ybaa^da - yba^da.
b(a^d - (a^d)²)ayba = b(a^d - (a^d)²)abay = b(a^d - (a^d)²)aay = ba^daay - ba^day.
ybaa^da - yba^da = ba^daay - ba^day.

Après les calculs on obtient

yq - yI3q = qy - I3qy.

Ainsi

(e - fiq)yq(e - /3q) = (e - fiq)qy(e - âq).

comme fiq est quasi nilpotent,alors (e - /3q) E Inv(A),d^'o`u yq = qy . En somme /3 admet un inverse généralisé de Drazin,et

(ba)^d = fi^d = (13 + q)^-1(e -- q).

Posons t = a - a^da,alors

Donc

Or

Alors

e + tb = a + p et e + bt = â + q.

(/3 + q) 1 = (e + bt)^-1 = e - b(e + tb)^-1t = e - b(a + p)^-1t.

ad = (a + p)^-1(e -- p) = (a + p)_¹aa^d = (e + tb)_¹aa^d.

(ba)^d = (fi + q)^-1(e -- q)

= [e - b(e + tb)_¹t]ba^da

= ba^da - b(e + tb)^-1aa^da + b(e + tb)_¹a^daa^da = b(a^d)²a

= b((ab)^d)²a.

Ceci achève la preuve.

Corollaire 6.1 Soit a, b E A. Si ab est Drazin inversible avec ind(ab) = k, alors ba est Drazin inversible et k - 1 < ind(ba) k + 1,et

(ba)^D = b((ab)^D)²a.

Preuve:

Posons c = b((ab)^D)²a. D'après le théorème de Cline , ba admet un inverse généralisé de Drazin avec (ba)^d = c. Par hypothèse (ab)^k = (ab)^k+1(ab)^D,ce qui implique

[ba - (ba)²c]^k+1 = b[(ab)^k - (ab)^k+1(ab)^D]a = 0.

Ainsi, ba - (ba)²c est nilpotent,et (ba)^D = c = b((ab)^D)²a. Et d'après ce qui précède on a :

ind(ba) < k + 1 =ind(ab)+1.

Par symétrie ind(ab) <ind(ba)+1,donc k - 1 ind(ba).

Lemme 6.2 1. Soient a, b E A,si a est nilpotent et ab = ba,alors ab est nilpotent.

2. Soient a, b E A,si a est nilpotent et ab = ba,alors a + b est nilpotent.

Lemme 6.3 Soient a, b E A Drazin inversible avec ab = ba,alors

1. a, b, a^D et b^D commutent.

2. ab est Drazin inversible et (ab)^D = b^Da^D.

Preuve:

1. Comme a^D E comm²(a) et ab = ba, alors a^Db = ba^D et donc b^Da^D = a^Db^D.

2. Posons x = b^Da^D, alors x et ab commute d'après 1 et xabx = x (cacul simple), par le lemme 6.2[p.32] ab--(ab)²x est nilpotent et ab--(ab)²x = abb^ð +b²b^ðaa^ð,avec aa et bb sont nilpotents.

Th'eor`eme 6.6 Soient a, b E A Drazin inversible avec ab = ba ,alors e + a^Db est Drazin inversible, si et seulement si a + b est Drazin inversible, dans ce cas

(a + b)^D = (e + a^Db)^Da^D + b^D(e + aa^ðb^D)_¹a^ð

= a^D(e + a^Db)^Dbb^D + b^ð(e + bb^ða^D)_¹a^D + b^D(e + aa^ðb^D)_¹a^ð

et

(e + a^Db)^D = a + a²a^D(a + b)^D.

Preuve: Supposons que = e+a^Db est Drazin inversible, alors par le théorème 4.1[p.23],a, b, a^D, b^D, î et î^D commutent les uns les autres,et comme aa^w est nilpotent,alors e + aa^lb^D est inversibles,idem pour l'inversibilité de e + bb^wa^D.

Posons x = ^Da^D +b^D(e + aa^wb^D)^--1a^w. On va montrer que x est l'inverse de Drazin de a + b,en effet :

1. Par le lemme 6.3 [p.32],a + b et x commute.

2. On utilise la relation (zz^-1 = e),on obtient :

(e + aa^wb^D)^-1 = e -- aa^wb^D(e + aa^wb^D)^-1

Notons que :

x(a + b) = î^Da^D(a + b) + b^D(e + aa^wb^D)^-1a^w(a + b)

= ^Da^D(a + b) + aa^wb^D(e + aa^rb^D)^-1 + aⁱbb^D(e + aa^rb^D)^-1

= ^Da^D(a + b) + aa^wb^D(e + aa^wb^D)^-1 + aⁱbb^D[e -aa^/b^D(e

+ aa^wb^D)^-1]

= ^Da^D(a + b) + aⁱbb^D.

Comme a^Daⁱ = 0,alors

x(a + b)x = [ ^Da^D(a + b) + aⁱbb^D][î^Da^D + b^D(e +aaⁱb^D)^-1aⁱ]

= (î^D)²(a^D)²(a + ^b) + aⁱb^D(e +aaⁱb^D)^--1

= (î^D)²îa^D +aⁱb^D(e +aaⁱb^D)^--1

= DaD + aⁱb^D(e +aa^wb^D)^-1

= x.

3. Enfin,on a :

(a + b) - (a + b)²x = (a + b) - (a + b)î^Da^D(a + b) - (a + b)a^wbb^D

= (a + _b) _ î^D(a^D(a + b))²a - (a + b)(e - aa^D)bb^D

= (a + b) -- î^D( - a")²a -- a(e -- aaD)bbD -- b2bD + aa^Db²b^D = (a + b) -- î^Dî²a + î^Daaⁱ - aa^wbb^D -- b2bD + aa^Db²b^D

= bb" - aa^wbb^D + ^a + ^aaDb2bD + î^Daaⁱ - î^Dî²a

= bb" - aa^wbb^D + aa^wî^D + îa - aa^Dbb^w - î^Dî²a

= a"bb" + aaw( ^D - bb^D) + aⁱa.

Comme aa^ð, bb" et a^ir sont nilpotent,alors (a + b) -- (a + b)²x l'est par le lemme 6.2 [p.32]. On va chercher une autre expression de (a + b)^D,pour ce faire montrons que

îDaD = a^Dî^Dbb^D +b"(e + bb^ða^D)^--1a^D.

= a^D(e + a^Db)^Dbb^D + b^ir

Xl - 1 (--b)i(aD)i+1 + i=0

k-1 i=0

(b)^i+1(_a)^ia^i.

par commtativité on écrit

aDbr(e + bb^wa^D) = a^Db^ð +a^Dbbⁱa^D =îa^Db^ð, On en déduit

(e -- (e + bbⁱa^D)^--1aⁱ) raDbi = _0.

Remarquons que (e -- (e + bb^wa^D)^-1îî^ð

est inversible si (e + bb^Da^D)^-1,î^ð

est nilpotent, on sait

que

î¹a^Dbⁱ =0.

Donc,

_aDb = îî^Da^Db^ð = DaDbir(e

+ bb^Da^D).

d⁰o`u

î^Da^Db =a^Db"(e +bb^ða^D)^-1 =

b^ð(e + bb^wa^D)^--1a^D.

Ainsi,

î^Da^D =aDîDbbD ^+bir(e +

bbⁱa^D)^-1a^D.

Inversement, si a + b est Drazin inversible,on peut écrire e + a^Db = a1 + b1 avec a1 = a^ir et b1 = a^D(a + b).

Remarquons que a1 est idempotent et a^D est group inversible avec (a^D)¹ = a²a^D. Par le théorème 4.1[p.23], b1 est Drazin inversible et

(b1)^D = [aD(a + b)]^D = a2aD(a + b)^D.

de plus

e + a^D₁ b1 = e + a1b1 = e. donc e + a^Db est Drazin inversible et

(e +aDb)D = (a1 + b1)^D

= (e + a^D1 b1)^Da^D1 + b^D1 (e + a1a^ð 1bD ₁ )-1að 1

= _air +a2aD(a + b)^D.

Ceci achève la preuve.

Corollaire 6.2 Soit a, b E A deux éléments Drazin inversibles,avec ind(a) = k,ind(b) = l et ab = ba. Si e + a^Db est Drazin inversible, alors a + b l'est et

k-1

(a + b)^D = (e + a^Db)^Da^D + i=0 (b^D)ⁱ⁺¹(_a)ⁱaⁱ

Preuve:

Comme ind(a) = k, alors (aa^ðb^D)^k = 0, alors

(e + aa^ðb^D)_¹a = [e + Pk-1

i=1 (b^D)ⁱ(-a)ⁱa^ð] = Pk-1

i=0 (bD)i(-a)iað

Idem,

b^D(e + bb^ða^D)_¹ = _b1 _>l-1

_i=0(a^D)ⁱ(_b)ⁱ.

et par le théorème précédent on obtient la forumle disérée.

Corollaire 6.3 Soient a, b E A deux éléments Drazin inversible,avec ind(a) = k , ind(b) = l, ab = ba

et e + a^Db est Drazin inversible.

1. Si a^Db^D = 0, alors

(a + b)^D = Pk-1

i=0 (b^D)ⁱ⁺¹(_a)ⁱ + Pl-1

_i=0(_b)ⁱ(a^D)ⁱ⁺¹.

2. Si a^Db = 0,alors

(a + b)^D = a^D + Pk-1

i=0 (bD)i+1(_a)i

3. Si ind(a) = 1,alors (a + b)^D = (e + a^]b)^Da + (e - aa^])b^D.

Preuve:

1. Comme a^Db^D = 0,alors b^Da = b^D et b^ra^D = a^D,puis on utlise le théorème précédent.

2. Comme a^Db = 0,alors a^Db^D = 0,et on utilise 1.

3. Comme ind(a) = 1,alors aa = 0,puis on applique le théorème précédent.