Les différentes notions d'inversibilité et applications

Chapitre IV

Continuité de l'inverse de Drazin et de

Moore-Penrose

1 Moore-Penrose inverse et Drazin inverse dans C*-algèbre

Dans tout ce chapitre A désigne une algèbre unitaire d'unité e.

Lemme 1.1 Un élément a E A normal et qausi-polaire est simplement-polaire.

Preuve: Supposons que a qausi-polaire et soit p = e - aa^D l'idempotent de a correspondant a` 0, alors p est normal d'après la proposition 1.1[p.36] et lemme 6.2[p.32], et parsuite le spectre de p est réel,p et en fait auto adjoint , et ap = pa est normal, et comme ap E QN(A) alors IapI = r(ap) = 0, donc ap = 0, d<sup>'</sup>o`u a est simplement polaire.

La proposition suivante donne une condition nécessaire et suffaisante pour que a⁺ commute avec

a.

Proposition 1.1 Soit a E A. Alors

a⁺a = aa⁺ [a E A^D et a⁺ = a^D] = a est simplement polaire.

Preuve: Supposons que a⁺a = aa⁺. Comme a⁺aa⁺ = a⁺ et a(e - a⁺a) = 0 E N(A) alors x = a⁺ = aD _E A^D et parsuite a(e - a^Da) = 0 donc a est simplement polaire.

Si a⁺ = a^D,alors a⁺a = aa⁺ (d'après la définition de l'inverse de Drazin).

Exemple 1.1 Un élément simplement polaire est régulier et parsuite Moore -Penrose inversible,mais la simple polarité de a est insuffisante pour que a⁺ = a^D,en effet :

soit a E A un élément idempotent; Alors a est simplement polaire avec a^D = a. Cependant a+ = _aD a* = a.car si

a+ = a^D,alors a = a² = a^Da = a⁺a donc a est auto adjoint.

Inversement,si a est auto adjoint,alors la définition de Moore-Penrose est verifiée,d'o`u a⁺ = a = a^D.

2 Quasi-Polarité et Moore-Penrose inversibilité

Th'eor`eme 2.1 Soit a E A,les conditions suivantes sont équivalentes :

1. a est Moore-Penrose inversible.

2. a^*a(respectivement aa^*) est Moore-Penrose inversible.

3. a^*a(respectivement aa^*) est quasi-polaire.

4. a^*a(respectivement aa^*) est simplement-polaire.

Preuve: Pour 2, 3 et 4 on se contente seulement sur la démonstration de a^*a idem pour aa^*.

1. 1 = 2] Si x = a⁺, alors ax = x^*a^* et xa = a^*x^*. Montrons que xx^* est l'inverse de Moore-Penrose de aa^*. Les égalités

aa^*xx^*a^*a = a^*axaxa = a^*a, x^*xaa^*x^*x = x^*xaxax = x^*x

De plus

a^*axx^* = a^*x^*a^*x^* = a^*x^* = xa,xx^*a^*a = xaxa = xa; comme xa est auto adjoint,alors xx^* est l'inverse de Moore-Penrose de aa^*.

2. 2 = 3] Posons b = a^*a et x = b⁺. Alors x^* est l'inverse de Moore-Penrose de b, et par unicité de Moore-Penrose inverse,alors x = x^*. Donc

bx = x^*b^* = xb.

En appliquant le lemme précédent,alors b E A^D,donc b est quasi-polaire. 3 = 4] Lemme 1.1[p.36]

3. 4 = 1] Soit a^*a simplement-polaire,montrons que x = (a^*a)^Da^* est l'inverse de Moore-Penrose de a. Remarquons que

xax = (a^*a)^Da^*a(a^*a)^Da^* = (a^*a)^Da^* = x.

comme a^*a est simplement-polaire alors a^*a = a^*a(a^*a)^Da^*a = a^*axa. d'autre part :

(a -- axa)^*(a -- axa) = (a^* -- a^*ax)(a -- axa) = a^*a -- a^*axa -- a^*axa + a^*axaxa =
a^*a -- a^*a -- a^*a + a^*a = 0.

Ila -- axa11² =11(a -- axa)^*(a -- axa)11= 0,et donc a -- axa = 0 d^'o`u axa = a.

Pour les identités (ax)^* = ax et (xa)^* = xa sont simples a` vérifier.

De màeme on démontre que si aa^* est simplement polaire alors x = a^*(aa^*)^D est l'inverse de Moore-Penrose de a.

Remarque 2.1 Pour 4 = 1 conduit a` donner une formule explicite pour l'inverse de Moore-Penrose en fonction de l'inverse de Drazin qui est une généralisation de l'identité a⁺¹ = (a^*a)_¹a^* = a^*(aa^*)^--1 pour tout a dans A^-1.

Th'eor`eme 2.2 Un élément a E A est Moore-Penrose inversible si et seulement si (a^*a) (respectivement aa^*) est Drazin inversible. Si a E A⁺,alors

a⁺ = (a^*a)^Da^* = a^*(aa^*)^D .

Les idempotents de a^*a et aa^* sont donnés par : (a^*a)" = e -- a⁺a et (aa^*)" = e -- aa⁺.

Preuve: Il suffit de Montrer (a^*a)' = e -- a⁺a et (aa^*)" = e -- aa⁺,en effet : (a^*a)" = e -- (a^*a)^Da^*a = e -- a⁺a .Idem pour l'autre.

Remarque 2.2 1. Si x est inversible,alors x^D = x⁺¹ et par suite si aa^* est inversible,alors a⁺ =

(a^*a)^-1a^* = a^*(aa^*)^-1 .

2. Le théorème est faux si on remplace l'inverse de Drazin et l'inverse de Moore-Penrose par l'inverse usuel, on a seulement

a E A^-1 <=> a^*a E A⁺¹ et aa^* EA^-1.

Dans la suite on va montrer que les idempotents sont Moore-Penrose invesibles.

Proposition 2.1 Sip E A est idempotent, alors p^*p est simplement-polaire et p E A⁺.

Preuve: Posons t = e--(p--p^*)² = e+(p--p^*)^*(p^*--p),donc t est positif,t E A^-1 et t E comm(p,p^*,p^*p). On va montrer que w = e -- p^*pt^-1 est l'idempotent de p^*p.

De p^*pt = tp^*p = (p^*p)² on déduit (p^*pt^-1)² =

(p^*p)²t^-2 = p^*pt⁺¹, d⁰o`u w² = w et p^*pw = 0 =

ùp^*p.De plus

p^*p + co = e +p^*(e -- t^-1)p = e + (sp)^*sp,

avec s = t 2 ¹ ((p - p^*), et parsuite p^*p + w E A^-1,et la simple polarité vient du théorème 2.1[p.37] et du corollaire 4.3[p.25].

Proposition 2.2 Soit a E A un élément normal. Alors :

1. a E A⁺ <=> a E A^D.

2. si a E A⁺,alors a⁺ est normal est commute avec a.

Preuve:

Soit a^*a = aa^*. Si a E A⁺, alors

a⁺a = (a^*a)^Daa^* = aa^*(aa^*)^D = aa⁺.

D'après la proposition 1.1[p.36],on aura a⁺ = a^D,la normalité déj`a fait.

Si a E A^D,alors a^* E A^D,alors a^*a E A^D ,d^'o`u a E A⁺ par le théorème 2.2[p.38].

Proposition 2.3 Si a E A⁺,alors a⁺ E comm²(a,a^*).

Preuve: On a : (a^*a)^D E comm²(a^*a). Si x E comm²(a,a^*),alors

a⁺x = (a^*a)^Da^*x = x(a^*a)^Da^* = xa⁺.

Proposition 2.4 Soit a,b E A⁺ avec b E comm(a,a^*). Alors ab E A⁺,et

a⁺b = ba⁺, b⁺a = b⁺a, (ab)⁺ = a⁺b⁺ = b⁺a⁺. (IV.1)

Preuve: Remaquons que b E comm(a, a^*) = a E comm(b, b^*),donc pour les deux premièrs équations sont vérifiées selon la proposition précédente, on a aussi b^* E comm(a, a^*),donc a⁺b^* = b^*a⁺,et a⁺ E comm(b, b^*). Donc d'après la proposition précédente,a⁺b⁺ = b⁺a⁺. Or les ensembles {a, a⁺} et {b, b⁺} commute,

aba⁺b⁺ab = aa⁺abb⁺b = ab,a⁺b⁺aba⁺b⁺ = a⁺aa⁺b⁺bb⁺ = a⁺b⁺,
(a⁺b⁺ab)^* = (a⁺ab⁺b)^* = b⁺ba⁺a = a⁺b⁺ab,
(aba⁺b⁺)^* = (aa⁺bb⁺)^* = bb⁺aa⁺ = aba⁺b⁺.

d^ro`u (ab)⁺ = a⁺b⁺.

Proposition 2.5 Soit a, b E A⁺ avec a normal et ab = ba. Alors ab E A⁺ et IV.1 est vraie.

Preuve:

Comme a est normal et ab = ba,alors a^*b = ba^* [théorème de Fuglede]. Alors b E comm(a, a^*),et le résultat s'ensuit d'après la proposition précédente.