Les différentes notions d'inversibilité et applications

3 Représentations de l'inverse de Moore-Penrose

Dans toute cette section on suppose que a E A⁺,alors a^*a est auto adjoint, positive et simplement polaire, et o(a^*a) U {0} = a(aa^*) U {0}.

Notations :

E = o^-(a^*a)U {0} = o^-(aa^*)U {0}.

p = (a^*a)^/r l'idempotent de a^*a corrsepondant a` 0.

q = (aa^*)" l'idempotent de aa^* corrsepondant a` 0.
x(A) la fonction caractérstique de {0} sur E.
co(A) la fonction sur C(E) definie par co(0) = 0 et co(A) = A^-1 si E \ {0}.

Lemme 3.1 Si a E A⁺,alors (e -- p)a^* = a^* et a^*(e -- q) = a^*.

Preuve: On a : (e--p)a^* = a⁺aa^* = a^*(a⁺)^*a^* = (aa⁺a)^* = a^*. De màeme on démontre l'autre égalité.

On peut écrire (a^*a)^D = f(a^*a) = co(a^*a),avec f holomorphe sur un voisinage ouvert de a(a^*a) vérifie f(A) = 0 sur un voisinage de 0 et f(A) = A^-1 sur un voisinage a(a^*a) \ {0}.

On peut écrire par le théorème 2.2[p.38].

a⁺ = ço(a^*a)a^* = a^*ço(aa^*).

Th'eor`eme 3.1 Si a E A⁺, alors

a⁺ = (a^*a + îp)^-1a^* = a^*(aa^* + îq)^-1 pour tout î =6 0.

Preuve: Soit î =6 0 et g(A) = (A + x(A))^-1(1 -- x(A)) pour tout A E E.

Une simple vérification montre que g = co, on utilise le théorème 2.2[p.38] et le lemme 3.1[p.39], alors

(a^*a + îp)^-1a^* = (a^*a + îp)^-1(e -- p)a^* = g(a^*a)a^* = co(a^*a)a^* = a⁺. Idem pour l'autre.

Th'eor`eme 3.2 Soit a E A⁺. Si (f_a) est une suite de fonctions converge uniformément sur C(E) vers la fonction co, alors

a⁺ = lim_a f_a(a^*a)a^* = lim_a a^*f_a(aa^*).

Preuve:

On utilise le théorème 2.2[p.38] et la continuité de la norme.

Exemple 3.1 Si a E A⁺.alors

a⁺ = lim_a+0(a^*a + ae)^-1a^* = lima+0 a^*(aa^* + ae)^-1.

En effet : pour tout a =6 0 et pour tout A E E; Posons f_a(A) = (a + A)^-1(1 -- x(A)).

Alors f_a(0) = 0 pour tout a et lima_+0 fa(A) = A^-1,si A =6 0, avec convergence uniforme sur E, la première formule vient du

(a^*a + ae)^-1a^* = (a^*a + ae)^-1(e -- p)a^* = f_a(a^*a),

Idem pour l'autre.

Exemple 3.2 On peut écrire

a⁺ = f08 exp(--ta^*a)a^*dt = f08 a^* exp(--taa^*)dt .

En effet : On pose fa(A) = _f08 e-tA(1 -- X(A))dt et puis on utilise le théorème 3.2[p.40] et lemme 3.1[p.39].

Pour donner une expression de l'inverse de Drazin en fonction de celui de l'inverse de Moore-Penrose.

Proposition 3.1 Soit a E A^D avec i(a) fini. Si a^2m+1 E A⁺ pour m > 1,alors

aD = a^m(a^2m+1)⁺a^m.

Preuve:

Soit a^2m+1 = a2m+1xa2m+1 pour x E A. Si b = a^D,alors ab = ba et asbs+1 = b,a^m+sb^s = a^m pour tout

s E N.

D'o`o : a^mxa^m = bm+1a2m+1xa2m+1bm+1 = b2m+2a2m+1 = b = a^D.

4 Continuité de l'inverse de Drazin

Rappelons les deux théorèmes crucials de continuité dans les algèbres de Banach .

Th'eor`eme 4.1 Si a est un élément inversible dans une algèbre de Banach A et si a_n a,alors a_n

est inversible pour tout n assez grand et , a₇7,¹ a+¹.

Ce théorème est faux en général pour l'inverse de Drazin car l'ensemble des éléments qui admettent un inverse de Drazin peut ne pas 'etre ouverte voir (Remarque 1.3[p.19]), donc la convergence simple de a_n a est encore insuffisant pour a^D_n a^D.

Exemple 4.1 Soit A l'algèbre des des fonctions continues a` valeurs complexes sur [0,1] U [2,3] avec la norme de convegence uniforme.

Définissons a et a_n par :

a(t) =

{ 0 si t E [0, 1]. et a_n (t) = { t/n si t E [0, 1].

t si t E [2, 3]. t si t E [2,3].

alors a admet un inverse de Drazin a^D défini par

{0 si t E [0, 1].

a^D(t) =

1/t si t E [2,3].

Cependant pour tout n ,a_n n'admet pas un inverse de Drazin car a(a_n) = [0, 1/n] et 0 E a(a_n). Exemple 4.2 Soit a un élément nilpotent d'ordre 3 dans une algèbre ,alors a^D=0. Pour chaque n, a_n = a + e/n admet un inverse de Drazin avec a^D_n = (a + e/n)^-1 = ne -- n²a + n³a². Nous avons

a_n a pourtant a^D_n 4 a^D, on remarque que lla^D_n ll n'est pas borné.

Th'eor`eme 4.2 Si a_n est un élément inversible dans une algèbre de Banach A tel que a_n a et si

lla^D_n ll est pas borné, alors a est borné et a₇7,¹ a+¹.

Notations : On note Or = {A : 0 < |A| < r} le disque pointé de centre 0 et de rayon r.

Th'eor`eme 4.3 Soit (a<sub>n</sub>) une suite drazin inversible dans une algèbre A telle que a<sub>n</sub> - a avec a Drazin inversible ,et soient p<sub>n</sub> et p les deux idempotents correspondant a` 0. Alors les assertions suivantes sont equivalentes :

1. aD n _+ a^D,

2. supIaD _n I < 00,

3. sup r(aD _n ) < 00,

4. inf d(0,a(a_n)\{0}) ~ 0,

5. il existe r > 0 tel que LI_r = {A : 0 < A < r} c p(a) n (fl n=1 p(an)),

6. aD n a_n -4 aa^D,

7. p_n -4 p

Preuve:

Les implications 1 = 2 = 3 = 4 = 5 sont faciles ( en 4 d(0, a(a_n)\{0}) = 00. Si r(aD _n ) = 0).

5= 7] Soient h0={A :|A |<1/3r } et h1={A :|A |>2/3r }, et soit f une fonction holomorphe définie sur h0 U h1 par f(A) = 1 sur h0 et f(A) = 0 sur h1. Comme h1 contient a(a)\{0} et a(a_n)\{0} pour tout n alors f(a) = p et f(a_n) = p_n pour tout n.

d^'o`u f(a_n) = f(a).

7 6] De p_n = e - aD n a_n et p = e - a^Da par [12,TH,3.3.7]

7 = 1] Si 7 est vérifiée ,alors an+pn -4 a+p avec a+p E Inv(A) par corollaire 4.3[p.25] et (a_n+p_n)^-1 (a + p) ¹ par le théorème 4.1[p.41]. Donc aD n = (a_n + p_n)^-1(e - p_n) = (a + p)^-1(e - p) = a^D. d^'o`u le résultat.