5.2 Inverse de Moore-Penrose pour les opérateurs
fermés bornés
Définition 5.5 Soient H un espace de
Hilbert et A E L(H). On dit que B
est l'inverse de Moore-Penrose de A si :
ABA = A , BAB = B , (AB)*
= AB , (BA)* = BA Un tel B quand il existe
il sera noté par A+.
Th'eor`eme
5.2 Soit A E L(H) un opérateur
dont l'image est fermé sur un espace de Hilbert. Alors les conditions
suivantes sont équivalentes :
1. A+A =
AA+ ;
2. H = N(A) ED'
R(A) ;
3. N(A) = N(A*)
;
4. A = PA avec P E
L(H)-1.
Preuve: Posons A =
L(H).1 2 par le théorème 2.1[p.44]( simplement
polaire avec auto adjoint
projection).
1 4 par le théorème 2.2(9)[p.45]. Etablissons 1 3,
remarquons que pour deux opérateurs femrés
A, B sur H,
[N(LA) c N(LB)]
[N(A) c N(B)].
avec LT l'application lineaire U 7? TU
sur L(H) et on applique le théorème
2.2(4)[p.45] 5.3 Inverse de Drazin pour les opérateurs
linéaires fermés
On note par C(X) l'espace des opérateurs
fermés dont le domaine et l'image dans X et
B(X) l'espace des opérateurs bornés
définis sur X tout entier.
Th'eor`eme
5.3 [13, theoreme1.4] Soit A un opérateur
fermé dont le domaine D(A). 0 est un point
isolé de a(A) si et seulement si il existe un
projecteur P non nul vérifiant :
1. R(P) C D(A).
2. PAx = APx pour tout x E
D(A).
3. a(AP) = {0}.
4. A + P est inversible pour î =6
0.
Un tel P est appelé l'idempotent de A correspondant
a` 0. Lemme 5.4 Soit A E
C(X) et B E B(X). Alors
:
1. A + B E C(X) et
D(A + B) = D(A).
2. Si R(B) C D(A),alors
AB E B(X).
3. Si R(B) c D(A),ABx
= BAx pour tout x E D(A) et A est
inversible, alors A-1B = B-1A
dans B(X).
4. Soit 0 o-(A) et P l'idempotent
de A correspondant a` 0. Alors R(P) C
D(An) pour tout n ~ 1. Si
R(B) C D(A) et ABx = BAx pour tout
x E D(A), alors BP = PB.
Convention : Si A E
C(X) et B E B(X) avec
R(B) C D(A) et ABx = BAx
pour tout x E D(A), on écrit AB
= BA.
Définition 5.6 Soit A E
C(X). Un opérateur B E B(X)
est appelé l'inverse de Drazin de A si R(B) C
D(A) , R(I -- AB) C
D(A) et
BAB = B, AB = BA,
a(A(I -- AB)) = {0}. (V.5)
l'index de Drazin i(A) de
l'opérateur A est défini par :
|
i(A) =
|
1
|
0 si A est inversible.
q si A est non inversible et A(I --
AB) est nilpotent d'index q. co ailleurs.
|
Un opérateur A E C(X) qui
admet un inverse de Drazin est appelé Drazin inversible,est son inverse
de Drazin sera noté AD.
Lemme 5.5 Soit A E
C(X) Drazin inversible dont l'inverse de Drazin B E
B(X). Alors l'opérateur P = I -- AB
est un projecteur continue vérifiant :
1. AP = PA.
2. R(P) C
D(An) n > 1.
Preuve:
1. De BAB = B on obtient
(AB)2 = ABAB = AB, ce qui implique
P2 = P.Si y E D(A), alors
ABy = y -- Py E D(A) et
d'après la 2 ème condition en V.5
APy = A(y -- ABy) =
A(y -- BAy) = (I -- AB)Ay
= PAy,
d0o`u le
résultat.
2. Pour n = 1,on a : R(P) C
D(A) supposons y = Px E
D(An-1) pour n > 2. Alors
Py = y, et d'après
1,d'o`u
Ay = APy = PAy E
D(A),
donc y = Px E
D(An).
Donnons une condition nécessaire et suffisante pour qu'un
opérateur A E C(X) admet un inverse de
Drazin.
Th'eor`eme
5.4 les conditions suivantes sont équivalentes :
1. A E C(X) est Drazin
inversible.
2. 0 El acca(A).
Preuve: Supposons que 0 n'est pas un point
d'accumulation de a(A).
Si 0 El a(A) donc A est inversible
et A-1 est l'inverse de Drazin de A. Supposons que
0 E o-(A), Alors Si 0 E isoa(A),
alors d'après le théorème 5.3 il existe P
correspondant a` 0 avec (î = 1).
Posons B = (A +
P)-1(I -- P),alors D(A
+ P) = D(A) et R(B) =
R((A + P)-1(I -- P)) C
D(A),la
commutativité de V.5 est évidente.
De plus,AB =
A(I--P)(A+P)-1 =
(A+P)(I--P)(A+P)-1
= I--P, et BAB =
(A+P)-1(I--P)2 =
(A+P)-1(I --P) = B,
comme AP est qausi nilpotent, alors a(A(I
--AB)) = {0}, d'o`u B
satsfait V.5 Inversement,supposons que B est l'inverse de Drazin
de A,et posons P = I -AB, d'après le
lemme 5.5 P est un projecteur continue satisafiat le
théorème 5.3[p.50] et,AP = A(I -
BA) est quasi-nilpotent. Montrons que A + P E
C(X) est inversible, en effet on a :
(A + P)(B + P) = AB
+ AP + PB + P = I -- P +
AP + P = I + AP,
et (B + P)(A + P)x =
(I + AP)x pour tout x E
D(A). Comme (I + AP) est inversible il en
est de màeme pour (A + P),par le
théorème 5.3 0 ?/ acca(A).
Remarque 5.3 Pour tout =6 0 (A
+ P)B = I - P car (BP = 0)
ce qui implique B = (A + P )-1(I
- P).
D'après l'unicité de Drazin inverse on peut
écrire explicitement de AD :
AD = (A + P)-1(I
- P) pour tout =6 0.
On remarque que P = I -
ADA.
Nous donnons un résultat qui permet de caractériser
l'inverse de Drazin pour un opérateur fermé.
Th'eor`eme
5.5 Si A E C(X) Drazin inversible,
alors
AD = f(A),
avec f une fonction holomorphe définie sur un ouvert
de a(A) est égale a` 0 sur un voisinage de
0 et oo,et A-1 pour tout A appartient a
un ouvert de a(A)\{0}.
Si de plus i(A) >
0,alors
a(AD) = {0} U
{A-1 : A E ó(A)\{0}}
Preuve: [27]
Th'eor`eme
5.6 Soit A E C(X). Si A est Drazin
inversible, alors il existe voisinage L pointé de 0
tel que :
R(A; A) = P8 n=0
A-n-1AnP - P8 n=0
An(AD)n+1, A
E L,
Avec P = I - AAD l'idempotent de
A correspondant a` 0 et R(A; A) la
résolvante de l'opérateur A. Preuve:
D'après le théorème 5.4[p.51] et d'après
l'équation :
(AI - A)x = (AI -
AP)Px + (AI - (A + P))(I
- P)x
qui est vrai pout tout x E D(A) et
pour tout A dans un voisinage de L (pour que (AI - (A
+ P)) )soit inversible,alors
R(A; A) = (AI -
AP)-1Px + (AI - (A +
P))-1(I - P)x X8
A-n-1AnP - X8
An((A + P)-1(I -
P))n+1
n=0 n=0
Remarque 5.4 AnP est
définie est borné pour tout n > 1 (Lemme
5.4).
Th'eor`eme
5.7 Soient A E C(X) Drazin inversible
et B E B(X) tel que R(B) C
D(A)et AB = BA. Alors ADB =
BAD dans B(X).
Preuve: Soit P l'idempotent de A
correspondant a 0,d'après le lemme 5.4,BP = PB
dans B(X). D'o`u
ADB = (A +
P)-1(I - P)B = B(A
+ P)-1(I - P) =
BAD
Th'eor`eme
5.8 [27] Soit A E C(X) Drazin
inversible. Alors pour tout n > 1, An est Drazin
inversible et (An)D =
(AD)n.
Th'eor`eme
5.9 Soit A E C(X) Drazin inversible
d'index de Drazin i(A) > 0. Alors AD
est Drazin inversible si et seulement si o-(A) est
borné.
Preuve: D'après le
théorème 5.4, a(AD) = {0} U
{A-1 : A E a(A)\{0}}. Donc
l'opérateur AD est Drazin inversible si,et seulement
si ,il existe un voisinage {A :| A |< r} de 0
disjoint de o.(AD) et a(A) est
contenu dans {A :| A |< r-1}.
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