Les différentes notions d'inversibilité et applications

6 Le coeur d'un opérateur Drazin inversible

6.1 Le gap de deux sous espaces fermés

On note par L(X) l'algèbre de Banach des opérateurs bornés munie de la norme ITI = sup{ITxI :

IxI = 1}.

N(T) désigne le Noyan de T,R(T) designe l'image de T respectivement.

Pour des espaces fermés M et N de X, on définit l'ouverture entre M et N (noté par gap) par:

gap(M, N) = max{5(M, N), c(N, M)}

avec

6(M, N) = sup{d(u,N) : u E M, Ilull = 1}.

Lemme 6.1 Soient P et Q deux projecteurs. Alors on a :

gap(R(Q), R(P) < max{1(I -- Q)P II, 1(I -- P)Q11}. (V.6)

gap(N(Q), N(P) < max{1(Q(I -- P)1, IIP (I -- Q)Il. (V.7)

I(I -- P)Q1 11(I -- P)1111Q1Igap(R(Q), R(P)). (V.8)

1P(I -- Q)11 I(I -- Q)1111Pligap(N(Q),N(P)). (V.9)

Preuve:

1. Soit u E R(P) : Iul = 1. Alors d(u,R(Q)) = infxEX Ilu -- QxIl < Ilu - Qull = I(I - Q)ul = 1(I - Q)Pul k(I - Q)P1.

et par suite :6(R(P), R(Q)) < 1(I -- Q)PII.

De màeme on démontre que :6(R(Q), R(P)) < 1(I -- P)Q1. D'o`u le résultat

2. De N(P) = R(I -- P) et N(Q) = R(I -- Q) et (1),on obtient (2).

3. Soit u E R(P) : Ilull = 1,Alors pour tout x E X, (I -- P)Qx = (I -- P)(Qx -- u).
11(I --		P)QxI	11(I --	P)Ildist(Qx, R(P)))
11(I --		P)Qx11	11(I --	P)Ilgap(R(Q), R(P)1Qx1.
11(I --		P)QxI	11(I --	P)Igap(R(Q), R(P)1Qx11xk.

4. De N(P) = R(I -- P) et N(Q) = R(I -- Q) et (3) on deduit (4).

Corollaire 6.1 Soient P et Q deux projecteurs qui commutent. Alors on a :
11(P	-- Q)11	< a(P,Q)gap(R(Q), R(P)),	(V.10)
11(P	-- Q)11	a(Q, P)gap(N(Q), N(P)),	(V.11)

Avec a(P,Q) = 11(I -- P)1111Q11 + 11P1111(I -- Q)11.

Preuve:

1. On utilise le résultat de [11, Th, 3] on a : gap(N(T^*), N(S^*)) = gap(R(T), R(S)) pour tout T, S E L(X).

Donc en remplacant P, Q parP^*, Q^*,dans V.9 on obtient :

11(I -- Q)P11 = IP^*(I -- Q^*)I 11(I -- Q)1111Pligap(R(Q), R(P)) (V.12)

. Si PQ = QP, alors 11(P -- Q)11 G 11(I -- P)Q11 + 11(I -- Q)P1 et on utilise lemme 6.1.

2. par dualité et on utilise 1.

Lemme 6.2 Si P et P_n deux projections dans L(X),alors :

1. 1IP_n -- P11 mo 0.

2. gap(R(P_n), R(P)) = 0 et gap(N(P_n), N(P)) = 0.

3. Si P_nP = PP_n pour n assez grand. Alors chaque conditions en 2 implique 1.

Preuve:

1. =] 2 On utilise 1 et 2 du lemme 6.1 précédent,avec Q = Pn.

2. =] 1 De 11P_n -- P11 G I(I -- P)Pn11 + 1P (I -- P_n)I et 3 et 4 avec Q = P_n on obtient : 11Pn -- P11 < i{P_n}{1(I -- P)11gap(R(Pn), R(P)) + 11P11gap(N(Pn), N(P))} (V.13)

Avec p{P_n} = max{11P_n11, III --P_n1}, il suffit donc de montrer que p{P_n} est borné. Remarquons

que p{P_n}G11P_n11 + 1,alors V.13 implique 11P_n -- PlIG(11Pn11+ 1)e_n avec e_n ? 0 et e_n = 0

d⁰o`u :11P_n11G11P11+11P_n --P11 GIIP11+ (11P_n11+ ¹)en (1 -- en)11Pn11G11P11+ en

11Pn11 (¹ -- en)^-1(11P11+ en) ²(11P11+ 1) si 0 G e_n < 1/2. pour 3 de 2.

On va définir :

Définition 6.1 On définit la conorme de l'opérateur T E L(X) par : 'y(T) = co si T = 0, 'y(T) = inf{11Tull Avec :dist(u, N(T)) > 0} si T =6 0.

Th'eor`eme 6.1 [9] 'y(T) > 0 si et seulement si,R(T) est fermé.

Lemme 6.3 [Markus, 11,pp.268 -- 269] Soient A, B E L(X) deux opérateurs dont l'image est fermé, alors :

- I -y(A) -- -y(B) I _{1-2gap(N(A),N(B))} avec gap(N(A), N(B)) < 1/2.

3kA-Bk

- I 7(A) -- ,(B) I _{1-2gap(R(A),R(B))} avec gap(R(A), R(B)) < 1/2.

3kA-Bk

- gap(N(A), N(B)) < max{ 1

ã(A)^, 7(1B) }1IA -- B11.

- gap(R(A), R(B)) G max{ 1

ã(A)^, 7(1B) 111A -- B11.

Lemme 6.4 [11,Théorème 2 et remarque 1] Soient C_n et C deux opérateurs dont l'image sont fermés dans L(X) avec C_n C, alors les conditions suivantes sont équivalentes :

1. inf -y(C_n) > 0.

2. lim-y(C_n) = -y(C).

3. gap(R(C_n),R(C)) 0.

4. gap(N(Cn),N(C)) 0.

6.2 Le gap et l'inverse de Drazin Donnons le théorème suivant :

Th'eor`eme 6.2 [27] Un opérateur A E L(X) est Drazin inversible si et seulement si, il existe C E C(X) et Q B(X) tel que :

1. D(C) = D(A) avec C est Drazin inversible et i(C) < 1.

2. Q E B(X) est qausi nilpotent et R(Q) C D(A)

3. A = C + Q et CQ = QC = 0.

Soit A E L(X) Drazin inversible alors A = C + Q avec i(C) < 1, Q est qausi-nilpotent et CQ = QC = 0 , C est appelé le coeur de Drazin inversible de l'opérateur de A . Comme Q est qausi-nilpotent et commute avec A et C alors AI - A est inversible si est seulement si, AI - C est inversible,d^'o`u :

ó(A) = ó(C). (V.14)

De plus, C^D = A^D théorème 5.6[p.27].l'idempotent P de A correspondant a` 0,est celui de C correspondant a` 0 et :

N(C) = R(P),R(C) = N(P) (V.15)

Th'eor`eme 6.3 Soient A_n et A deux opérateurs dans E L(X) Drazin inversibles, et soient P_n et P les deux projections de P_n et P respectivement correspondant a 0 et C_n et C les coeurs de A_n et A, alors les conditions suivantes sont équivalentes :

1. AD n _AD,

2. sup IAD _n I < 00,

3. supr(AD _n ) < 00,

4. inf d(0,a(AD _n )\{0}) > 0,

5. il existe r > 0 tel que LI_r = {A : 0 < Al < r} c p(A) n (fl n=1 p(An)).

6. AD n A_n - A^DA,

7. P_n -~ P,

8. gap(R(P_n), R(P)) -? 0 et gap(N(P_n), N(P)) -? 0.

9. gap(R(C_n), R(C)) -? 0 et gap(N(C_n), N(C)) -? 0.

10. C_n - C et gap(R(C_n),R(C)) -? 0.

11. C_n - C et gap(N(C_n),N(C)) -? 0.

12. (C_n) --~ ã(C).

13. inf_n 'y(C_n) > 0.

[Alors Cn -? C et An -? A,mais AD n =

0 0 0 n

?6 A^D.

Preuve:

1. =] On aura de : 1 a` 7 par le théorème 4.3[p.42].

2. 7 = 8] C'est une conséquence du lemme 6.2.

3. 8 = 9] Par V.14.

4. 9 = 10] Par 11 et C_n = A_n(I - P_n) - C = A(I - P).

5. 10 = 11] Lemme 6.4.

6. 12 = 13] Est clair.

7. 13 = 14] Voir V.15

Remarque 6.1 la condition C_n -+ C dans 10 et 11 du théorème6.3 est insuffisant pour montrer que

AD n _ A^D .

Exemple 6.1 An = Cn =

[ ] [ ] 0 0 0 0 et A = C = 0 1/n 0 0