Existence et unicité d'une mesure

Chapitre 3

Mesure extérieure

Comme nous l'avons d'eja signal'e la construction d'une mesure int'eressante sur un ensemble non d'enombrable ne se voit de manière explicite que sur certains 'el'ements -qui forment souvent une algèbre de Boole ou une semi-algèbre de Boole- de la tribu . C'est sur ces parties que l'on construit d'abord une telle mesure.

3.1 Définition et propriétés

Définition 3.1.1 Une mesure ext'erieure u* sur E (E non vide) est une application

u* : P(E) -? R+ telle que

i) u*(Ø) = 0

ii) si A c B,[A, B E P(E)] alors u^*(A) = u^*(B)

iii) pour toute suite _(An)n?N dans P(E) on a

u*( [8 A_n) = _X8 u^*(A_n)

n=1 n=1

Une partie A de E est dite u^*-mesurable si pour toute partie ç de E on a

u^*(ç) = u^*(A n ç) + u^*(A^c n ç)

Propriétés 3.1.1 Soit f une fonction additive positive d'efinie sur l'algêbre A0 de parties de E ,X,Y et _(Xi)i?N d'esignent des 'el'ements de A0

1.

_Xn
i=1

Xi) =

si X ? Y alors f(X) = f(Y)

2. pour tout n ? N, f(U

i=1

f(Xi) ; de plus si les Xi sont deux a` deux disjoints

cette inégalitédevient égalité

00

3. si les Xi sont deux a` deux disjoints et si Xi ? A0 alors

i=1

00 f (H i=1

Xi) =

00 i=1

f(Xi)

si de plus f est ó-additive , cette inégalitédevient une égalité

00

4. si X ? Xi et si f est ó-additive alors :

i=1

f(X) =

00 i=1

f(Xi)

Preuve :

1. Résulte immédiatement de :

Y = X U(Y n X^c) = f(Y) = f(X) + f(Y nX^c) = f(X)

2. Soit Xi = X1, Xz = Xi n(U i-1 Xj)^c ; les X⁰_i sont deux a` deux disjoints et _[n Xi = _[n _X0 i

j=1 i=1 i=1

3. pour tout n ? N, _[n Xi ? 00 Xi donc d'après (1)et (2)

i=1 i=1

00 f (H i=1

Xi) = f(ll i=1

Xi) =

Xn i=1

f(Xi)

, X⁰_i ? Xi donc d'après (1)

f (H i=1

Xi) =

Xn i=1

f(X^0i) =

Xn i=1

f(Xi)

d'o`u puisque ceci et vrai pour tout n ? N :

[8 f( i=1

Xi) =

X8 i=1

f(Xi)

avec l'égalitéd'après la définition si f est ó-additive.

U 4. soit X00 1 = X ^fl X1 ,X0' i = X ^fl Xi fl( i-1 j=1				Xj)^c ; les X00 j sont deux a` deux disjoints, et
vérifient	[8 i=1	X00 i = X, X00 i ? Xi nous avons donc d'après (1)
f(X) =			X8 i=1		f(X0' i ) =	X8 i=1	f(Xi)

3.2 Lemmes

Lemme 3.2.1 : Soit A0 une algêbre de parties de l'ensemble non vide E, et u une fonction d'ensembles ó-additive, positve, bornée sur A0 . Pour toute partie X de E posons :

u^*(X) = inf{ Yi

X8 n=1

u(Yi)} (3.1)

La borne inférieure étant prise pour toute les familles dénombrables {Yi ; i ? N^*} d'éléments

de A0 telle que X ? _[n Yi , si X n'est contenu dans aucune réunion dénombrable d'éléments

i=1

Soit X ? A0 ,nous avons X = [8 Xi avec X1 = X et Xi = Ø pour i = 2 donc

i=1

de A0 , nous posons u^*(X) = +8

Alors u* est une mesure extérieure bornée dont la restriction a` A0 est égale a` u , appelée mesure extérieure engendrée par u

Preuve :

i) Montrons u^*/A0 = u.

u^*(X) =

X8 i=1

u*(Xi) = u*(X1)

D'autre part

u^*(X1) = u(X1) = u(X)

D'o`u u^*(X) = u(X)

Si X ? [8 Yi , Yi ? A0 , alors :

i=1

u(X) =

X8 i=1

u(Yi) o`u en prenenant la borne inferieure du second membre

u(X) = u^*(X)

Et par consequent u(X) = u^*(X)

ii) Nous allons maintenant etablir que u* est une mesure exterieure sur E ; elle est born'ee car u l'est

i) u*(Ø) = u(Ø) = ⁰

ii) Soit A et B deux parties de E , A ? B , si B n'est contenu dans aucune reunion denombrable d'elements de A0 alors u^*(A) = u^*(B) = +8

Si B ?

[8 i=1

Yi , Yi ? A0 ,A ?

[8 i=1

Yi donc u^*(A) =

X8 i=1

u(Yi) et en prenant la

D'o`u

X8 i=1

u^*(Xi) =

X8 i=1

X8 j=1

u(Xij) - å = u^*(1 i=1

Xi) - å

borne inferieure du second membre, u^*(A) = u^*(B) iii) soit X une partie de E telle que

X =U i?N^*

Xi avec Xi partie de E non forcement dans A0

Soit å > 0 , alors pour tout i ? N il existe une suite _(Xij)j?N dans A0 telle que

[ Xi ? j?N

Xij et

u^*(Xi) =

X8 j=1

å u(Xij) - 2i

Car _U00 Xi ? _U Xij ce resultat etant vrai ?å > 0 on en deduit par passage

i=1 (i,j)EN^*xN^*

a` la limite (quand å ? 0 ) :

u^*(X) = u^*(U i=1

Xi) =

00 i=1

u^*(Xi)

Lemme 3.2.2 : Soit B la classe des parties de E qui sont u^*-mesurables [i.e les parties A qui vérifient u^*(S2) = u^*(A n S2) + u^*(A^c n S2), ? S2 ? P(E)]

Alors B est une tribu sur E et u* est une fonction ó-additive, positive, bornée sur cette tribu

Preuve :

i) B est une algèbre de Boole sur E . On a clairement pour tout S2 ?P(E)

u^*(S2) = u^*(S2 n E) + u^*(S2 n E^c)

Donc E ? B ; soient A,B ? B et S2 ? P(E) .Alors u^*(S2) = u^*(S2 n A) + u^*(S2 n A^c)

= u^*(A n B n S2) + u^*(A n B^c n S2) + u^*(A^c n B n S2) + u^*(A^c n B^c n S2)
= u^*(A n B n S2) + u^*({(A n B^c n S2) ? (A^c n B n S2) ? (A^c n B^c n S2)})

= u^*(A n B n S2) + u^*((A n B)^c n S2)

comme S2 = {(A n B) n S2} ? {(A n B)^c n S2} et que u* est une mesure exterieure le point iii) de la definition (3.1.1) donne

u^*(S2) = u^*(A n B n S2) + u^*((A n B)^c n S2)

Et donc

u^*(S2) = u^*(A n B n S2) + u^*((A n B)^c n S2)

Ce qui montre que A n B ? B . Le fait que A ? B A^c ? B decoule trivialement de ^l'egalite

u^*(S2) = u^*(A n S2) + u^*(A^c n S2) o`u S2 ? P(E)

ii) u* est additive sur B : en effet soient A et B des elements de B tels que A n B = Ø .Alors

u^*(A ? B) = u^*(A) + u^*(B)

iii) B est une tribu : soit _(An)n?N* une suite d'elements dans B .

On veut montrer que A =

[8 n=1

An est un element de B

On peut supposer que A_n sont deux a` deux disjoints ; s'ils ne sont pas on pose : A_n = {A1 pour n = 1; A_n n Ac n-1 n n A^c₁ pour n = 2}

Et on remarque qu'on a A = [8 A_n = [8 A_n

n=1 n=1

Ce n'est donc pas une restriction de supposer A_n n A_p = Ø pour n =6 p Soient ? P(E) , 6 > 0 et N ? N^* .Alors comme

XN n=1

u* (An) = u*( U n=1

8 An) = u^*(U n=1

An) < +8

Donc pour N suffisament grand on a

[N u*({ n=1

An n }^c) =

X8 n=N+1

u^*(An n ) = 6 (3.2)

Maintenant comme

= (H (A_n n )) ? ({ _[N A_n}^c n )

n=1 n=1

u* () = u* (I I (A_n n )) + u*({ _[N A_n}^c n ) (3.3)

n=1 n=1

qui est une reunion disjointe on a :

Sommant le premier et le troisieme membres de 3.2 réspectivement avec le deuxieme et le premier membre de 3.3 on obtient

å + u^*() = u^*(il (A_n n )^c) + u^*(U (A_n n )) + u*({ _[N A_n}^c n )

n=1 n=1 n=1

Et donc

å + u^*() = u*({			[N n=1	8 An}^c n ) + u^*(U n=1		(An n ))
= u*({	[8 n=1	8 An}^c n ) + u^*(U n=1			(An n ))

En faisant tendre å vers 0 on obtient

[8 u^*() = u*({ n=1

8 An}^c n ) + u^*(U n=1

(An n ))

comme l'égalité

u^*() = u*({ [8 A_n}^c n ) + u^*(1 8 (A_n n ))

n=1 n=1

est vérifiée de maniere évidente , on a :

u^*() = u*({		[8 n=1	8 An}^c n ) + u^*(U n=1					(An n ))
i.e	[8 n=1				An ? B
8 u*(-- n=1				An) =		X8 n=1	u^*(An) (3.4)

qui montre bien que B est une tribu.

iv) u* est une mesure bornée sur B .

Soit toujours _(An)n?N* une suite d'éléments de B deux a` deux disjoints .Comme u* est une mesure extérieure on a

D'autre part comme pour tout N ? N*

[N n=1

An ?

[8 n=1

An

On a

u*( [8 A_n) = u^*(U A_n) = _XN u^*(A_n)

n=1 n=1 n=1

En passant a` la limite quand N ? +Do on obtient

u*( [8 A_n) = _X8 u^*(A_n) (3.5)

n=1 n=1

Les inégalités 3.4 et 3.5 donnent 8 u*(-- n=1

An) =

X8 n=1

u^*(An)

Ceci montre bien que la ó-additivitéde u* qui est donc une mesure sur B .Elle est trivialement born'ee .

Lemme 3.2.3 : La tribu A = ó(A0) engendr'ee par A0 est contenue dans B.

Preuve : Il suffit de montrer que A0 est contenu dans B car celle-ci est une tribu. Soit A ? A0 ; il s'agit de montrer que pour tout Ù ? P(E) on a

u^*(Ù) = u^*(A n Ù) + u^*(A^c n Ù)

comme

u^*(Ù) = inf { S?SÙ

X8 n=1

u(An)}

[8 A_n ,

n=1

o`u SÙ est l'ensemble de toutes les suites S = (A_n) telles que A_n ? A0 et Ù ? pour tout å = 0, il existe S = (An)n?N ? SA telle que

_X8 u(A_n) = u^*(Ù) + å

n=1

Mais

_X8 u(A_n) = _X8 u^*(A n A_n) + _X8 u^*(A^c n A_n)

n=1 n=1 n=1

= u^*(A n ç) + u^*(A^c n ç)

Et donc

u^*(A n ç) + u^*(A^c n ç) = u^*(ç) + å

En faisant tendre å vers 0, on obtient

u^*(A n ç) + u^*(A^c n ç) = u^*(ç)

Comme l'égalité

u^*(A n ç) + u^*(A^c n ç) = u^*(ç)

est évidente, on a

u^*(A n ç) + u^*(A^c n ç) = u*(ç)

Ce qui montre bien que A ? B .