Existence et unicité d'une mesure

Chapitre 4

Existence et Unicitéde la mesure

sur les tribus

Dans ce chapitre, on va démontrer le théorème de prolongement qui permet d'étendre une mesure, définie a priori sur une semi-algèbre de Boole, a` la tribu qu'elle engendre; puis l'unicité, et on terminera par des exemples.

4.1 Existence

Théorème 4.1.1 (Théorème de prolongement) : Soit u une fonction ó-additive, positive, bornée sur A0 (o`u A0 est une algêbre de Boole sur E ) et A la tribu engendrée par A0 .Alors il existe une fonction ó-additive, positive, bornée u1 définie sur A, dont la restriction a` A0 est égale a` u

Preuve : La mesure extérieure u* donnée par l'égalité(3.1) est restreinte a` A = ó(A0) donne le prolongement d'après le lemme (3.2.1).

Définition 4.1.1 : On appelle mesure sur A toute fonction d'ensemble sur A, positive, ó-additive et bornée.

D'une maniêre équivalente, une mesure est une application u : (E, A) ? 1+ vérifiant - Pour toute famille _(An)nEN de parties disjointes deux a` deux :

u( [8 A_n) = _X8 u(An)

n=1 n=1

4.2 Unicit'e du prolongement

Th'eor`eme 4.2.1 (Unicit'e de Dynkin) : Soient A0 une alg`ebre sur l'ensemble X et A = ó(A0) la ó-alg`ebre engendr'ee par A0. Si u et í sont deux mesures sur (X, A) telles que u(P) = í(P) pour tout P ? A0 et u(X) = í(X), avec u et í sont deux mesures finies, alors u(A) = í(A) pour tout A ? A

Preuve : Notons B0 ? A l'ensemble des A ? A tels que u(A) = í(A). On sait par hypoth`ese que X ? B0 et il est trivial que Ø ? B0. Si A et B ? B0 avec A ? B, alors u(A) = í(A) et u(B) = í(B) par cons'equent

u(B \ A) = u(B) - u(A) = í(B) - í(A) = í(B \ A)

et donc B \ A ? B0. De même si (Ai)i?N ? B0 est une suite monotone croissante, alors _U8 Ai ? B0 car

i=1

U8 u( n=1

An) = lim u(An) = lim n?8 n?8

8 í(An) = í(U n=1

An)

k

u(A) = i=1 (bi - ai) (4.2)

On a donc montr'e que B0 est une alg`ebre. Comme A ? B0 cela signifie que u(A) = í(A) pour tout A ? A.

4.3 Exemples

4.3.1 Mesure de Lebesgue sur ILS

On pose =]0, 1[.Alors l'ensemble des parties de de la forme

k

A = ]ai, bi[ (4.1)

i=1

avec 0 = a1 = b1 = a2 = b2 = ak = bk = 1 est une alg`ebre de Boole A0 sur qui

engendre la tribu bor'elienne BÙ .Pour A ? A0 de la forme 4.1 on pose

Alors u est une mesure finie sur A0 .D'après le théorème de prologement elle s'etend de manière unique en une mesure ë0 sur BÙ

4.3.2 Application du théorème de Kolmogorov

Théorème de Kolmogorov¹ : Soit _(Pn)n?N une suite de probabilitésur les espaces ((Rⁿ⁺¹, B(Rⁿ⁺¹)))_n?N satisfaisant la condition de consistance

?m = 0, ?B_n E B(Rⁿ⁺¹) , P_n(B_n) = Pn+1(Bn x R)

Il existe alors une unique mesure de probabilitéP sur (R^N, B(R^N)) telle que :

?m = 0, ?B_n E B(Rⁿ⁺¹) , P(C_n(B_n)) = P_n(B_n) avec C_n(B_n) des cylindres sur R^N de la forme suivante :

C_n(B_n) = {w = (wn)n=0 E R^N : (w1, ...,w_n) E B_n}

B_n E B(Rⁿ⁺¹) et E^N = {w = (wn)n=0 : w_n E E,m E N}

-Maintenant vérifions que l'évènement suivant est de probabilité1 :

U A = {w : T(w) < 8} =

{w : T(w) = m}

n=0

avec

T(w) = inf{m = 0,w_n = 1}

o`u les évènements cylindriques sont :

{w : T(w) = m} = {w : w0,...,wn-1 = 0,w_n = 1}

= 0 x 0... x 0 x1 | _{z -I

n

.

On commence par remarquer que le théorème de Kolmogorov nous assure l'existence d'une

'Pour la d'emonstration voir [5] page 30

unique probabilitéP sur (Ù, F) = ({0, 1}^N, B(E^N)) supportant les séquences infinies de jeux de »Pile» ou »Face». Nous avons :

U >i P(T < 8) = P( {ù : T(ù) = n}) = n>0 n>0			P({ù : T(ù) = n})
>i = n>0	P({ù : ù0 = 0,...,ùn_1 = 0,ùn = 1})
>i = n>0		(1 - P)^nP = 1