Etude d'une équation parabolique

Notations

R^N : L'éspace Euclidien avec la norme 1,51 = 1(si, s^2)1 =

X N i=i

)1/2 s^2 : i

a : Domaine borné de R^N.

F, aa : Frontière topologique de a:

x = (xi, x2,
·
·
·,xN) : Point de R^N.

Vu : Gradient de u :

~ 0 ~

u_; :::; @

ru = u :

@x1 @xN

Au : Laplacien de u est l'opérateur du second ordre sur R^N :

₈2 ₈2

Au = div(Vu) = u + ::: + u:

@x² @x²

1 N

q : Conjugué de p, c -- -- d :

1 p

+

1 q

=1.

D(a) : Espace des fonctions différentiable sur a 2 C"°(a) et a support compacte dans a. D'(a) : Espace de distribution .

11x1l_x : La norme de x dans X .

1

p

:

II/11p = (1₁ I f(x)I^P)

W^1,P (a) = {u 2 L^P (a) , Vu 2 (L^P (a))^N1 .

1

P :

= (Ilur_p+ 11Vur_p)

W 1;p

0(a) : La ferméture de D (a) dans W^I-P (a). H : Espace de Hilbert.

H^l₀ = W 1;2

0 :

u : a X R^#177; --> Rⁿ. au

rat = at^.

Opérateur de dérivation : Soit a un ouvert de IV , a 2 IT' et

f : a R,

alors :

f (X) ( a ( a In

D^af(x) = =axr ...axon axi axn f (x)

Si X est un espace de Banach

_I ~

_fT

L1 (0, T ; X) = f : (0, T ) - X est mesurable ; f(t) p X dt < oc :

0

_I )

L°° (0, T ; X) = f : (0, T ) X est mesurable ;ess - sup f(t) p X < oc :

tE(0,T)

Bx = {x E X; x < 1} : La boule unitée.

vi

Résumé

Dans ce mémoire on a essayé d'etudier un probléme d'évolution dans le temps du type parabolique (Chaleur) et de démontrer l'existence et l'unicité de la solution dans et dans ⁿ , les principales propriétés qualitatives de la solution de l'équation de la chaleur dans ⁿ, notamment les propriétés de régularité, comportement asymptotique pour les grandes valeurs de t , le principe maximum, propagation a vitesse infinie.

Introduction

Les équations aux dérivées partielles, qui seront notées en abrégé "EDP" dans la suite, constituent une branche importante des mathématiques appliquées. Elles sont utilisées dans la modélisation de nombreux phénomènes de natures différentes.

Le but principal de résoudre ces équations est d'essayer d'apprendre quelques informations sur le processus physique que l'équation est estimée a modéliser. Il est de base a l'importance des équations différentielles que même les plus simples équations correspondent aux modèles physiques utiles. La compréhension d'un processus complexe par nature, est généralement réalisée en combinant on constituant sur des modèles plus simples et plus fondamentales. Ainsi, une connaissance approfondie de ces modèles, les équations qui les décrivent, et leurs solutions, est la première indispensable étape vers la solution des problèmes plus complexes et réalistes.

Les équations aux dérivées partielles avec le temps t en tant qu'une des variables indépendantes forment des équations d'évolutions en temps (Hyperboliques et paraboliques), elles résultent non seulement de beaucoup de champs des mathématiques, mais également d'autres branches de la science telles que la physique, la mécanique et la science des matériaux. Par exemple, équations de Navier-Stokes et d'Euler de la mécanique liquide, équations de réaction-diffusion des transferts thermiques et sciences biologiques, Klein....

Dans ce mémoire nous allons montré quelques éclairassions sur l'équation de chaleur (Chapitre 3), on nous allons commencé le travail par une discussion et développement du cours pédagogique des EDPs pour le parcours de licence en mathématique appliquées (Chapitre 2 - équation de la diffusion dans ), et nous allons essayé de le compléter, pour nous nous retrouver dans une étude approfondie d'un problème mathématique relativement simple, c'est le prolongement en dimension ii dans le problème pour les conditions aux limites de Dirichlet suivante :

8 <>> >>:

@ u(x; t) - Iu(x, t) = f(x, t), avec x E ~ @t u(x, t) = 0, avec x E %1 u(x, 0) = u0(x); avec x E ~

(1)

Le problème aux limites (1) modélise l'évolution de la températeure u (x; t) dans un corps ther-
miquement conducteur qui occupe de domaine ~. La distribution de température initiale, a t = 0

est donnée par la fonction u0. Sur le bord 9 du corps considéré, la températur est maintenue a une valeur constante, utilisée comme valeur de référence (c'est la condition de Dirichlet homogène u (x; t) = 0sur 9 x 1+). Les sources de chaleur sont modélisées par la fonction donnée f = f (x, t). Notons que les variables x 2 ett 2 1+ jouent des roles très différents dans(1) puisqu'il s'agit d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre en t et du deuxième ordre en x (le Laplacien ne porte que sur la variable spatiale).

Indiquons qu'il existe d'autres origines physiques du système (1). Par exemple, (1)modélise aussi la diffusion d'une concentration u dans le domaine , ou bien l'évolution du champ de pression u d'une fluide s'écoulant dans un milieu poreux (système de Darcy), ou encore la loi d'un mouvement brownien dans le domaine . On peut, bien sür, associer d'autres conditions aux limites a l'équation de la chaleur (par exemple, une condition de Neumann homogène si la paroi du corps est adiabatique).

Une première généralisation évidente de l'équation de la chaleur s'obtient lorsque l'on remplace le Laplacien par un opérateur elliptique du deuxième ordre plus générale cette généralisation se roncentré, par exemple, si on étudie le propagation de la chaleur dans un matériau non homogène ou en présence d'un effet convectif

Il y a d'autres problèmes du même type, mais dans des conditions diffi ciles comme le cas non linéaire on au moine semi linéaire en prenant en considération les effets d'amortissement. Laissons ce projet devrait être achevé en master en utilisant les connaissances acquises est en mesure d'aller plus loin que ce la.

Plan de mémoire

On a structuré ce mémoire en trois grands chapitres :

Chapitre0l :

Dans ce premier chapitre on rassemble toutes les notions et résultats de base que nous utiliserons par la suite. Ces notions et ces résultats représentent un outil important pour l'étude de ce type de problème.

Chapitre02 :

Ce chapitre traite l'une des premières équations aux dérivées partielles mises en évidence (Equation de la diffusion dans 1).

Chapitre03 :

Dans ce dernier chapitre on traite un exemple un peut plus compliqué de problèmes d'évolutions de type parabolique. Il s'agit d'une équation de chaleur dans 1n.

Dans ce chapitre, nous allons rappeler les notions essentielles, de même quelques résultats fondamentaux, qui concernent les espaces métriques, topologiques, les espaces I^I (~) , les espaces de Sobolev, espaces fonctionnelles et d'autres théorèmes classiques. Ces notions et ces résultats représentent un outil utile pour l'étude de ce type de problème.

1.1 Qu'est qu'une equation diiferentielle partielle ?

1.1.1 Equation differentielle ordinaire (EDO)

Definition 1.1.1 Une équation diférentielles ordinaires est une relation du type

F (X, U(X), t^il(X), u^"(x), ..., u⁽ⁿ⁾(x) = 0,

entre la variable x 2 R et les dérivées de la fonction inconnue u au point x. La fonction F est une fonction de plusieurs variables (x, y) i--p F(x, y) ou x est dans IR et y = (yo, .., y_n) est dans 118ⁿ⁺¹.