Etude d'une équation parabolique

1.1.2 Equation aux derivees partielles (EDP)

L'étude d'une équation aux dérivées partielles est de mettre en jeu des fonctions de plusieurs variables

(x,y,---) '--' u(x,y,---)-

Definition 1.1.2 Une EDP est alors une relation entre les variables et les dérivées partielles de u. Definition 1.1.3 Soit Q = ]a, b[ x ]c, d[ dans 118², et

f : Q c IR.² --> I[8

une application. Soit (x0, yo) 2 Q, et

f1 :]ci;b[ -->I18

l'application définie par

fi (x) = f (x, yo) :

On dit que f admet une dérivée partielle par rapport a la première variable en (x0, yo) lorsque fi est dérivable en x0. On note Oif (x0, yo) ou encore O_x f (xo, yo) le nombre II. (xo) .

De la même manière, si elle existe, on note (92f (x0, yo) la dérivée partielle de f par rapport a la deuxième variable en (x0, yo) :

1.1.3 Classification des EDPs lineaires du second ordre

Ce paragraphe est destiné a distinguer trois types d'équations, qui se révèlent différentes tant du points de vue mathématique (propriétés des solutions, méthodes de démonstration) que physique. Etudions le cas des EDP dépendant de deux variables réelles.

Definition 1.1.4 L'équation aux dérivées partielles donnée :

0²u 02u 02

a u 0u 0u

0x^{2 +b}0x0y +c0y2 + a0x + /3_0y + -yu = F(x,y) (1.1)

est dite de type :

- Hyperbolique lorsque

A = b² -- 4ac > 0,

- Parabolique lorsque

A = b² -- 4ac = 0,

- Elliptique lorsque

A = b² -- 4ac < 0,

oft A = b² -- 4ac est la discriminant de l'équation (1.1).

1.1.4 Probleme bien pose :

Considérons les équations différentielles linéaires homogènes a coefficients constants. Pour l'équation

a_nu⁽ⁿ⁾ (x) + a_n_1u^(n-1) (x) + .. + a1u^' (x) + .. + a_ou (x) = 0, (1.2)

on rappellera plus loin que l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension n : la solution générale dépend de n constantes (n est l'ordre de l''equation). On obtient une solution unique lorsque l'on fixe n conditions supplémentaires du type

u(0) = y0, u0(0) = y1, .., u^(n-1)(0) = yn-1 (1.3)

oil y0;y1, .., yn-1 sont n réel fixés.

Le problème qui consiste a résoudre l'équation(1.2) sous la condition(1.3) porte le nom de problème de Cauchy. Cependant lorsque les EDP proviennent de la modélisation d'un phénomène du monde réel, les solutions intéressantes sont celles qui satisfont certaines conditions supplémentaires.

Il y a bien d'autres sortes de contraintes que l'on rencontre très souvent, par exemple :

- Des conditions aux bords

On connait l'état du système que l'on veut d'écrire aux bords

- Des conditions de régularité :

Les solutions doivent etre suf fisamment différentiables, au moins pour que l'équation ait un sens.

- Des conditions initiales

On connait l'état du système que l'on veut d'écrire a l'instant t = 0 et il s'agit de décrire son évolution dans le temps.

- Des conditions de comportement a l'infini.

- Des conditions de stationnarite.

Definition 1.1.5 Soit f une fonction définie sur R, 27--périodique et continue par morceaux. On

appelle série de Fourier de f la série trigonométrique dont les coefficients (appelés coefficients de Fourier de f ) vérifient :

a. Cn = 2ir 1					2ir f 0			f (x) e^-inxdx Vn E Z
b. a0 = 12i			2ir f 0				f (x) dx
1 an = ir	2ir f 0			f (x) cos nx dx Vn > 1
c. bn = 1i		2ir f 0				f (x) sin nx dx Vn > 1

Definition 1.1.6 La formule sommative de poisson s'obtient facilement par développement en série de Fourier de la fonction indéfiniment dérivable et 2l--périodique définie avec a > 0 par :

0 (u) =

+ 1 E n=--c

e(-a(u-2n0^2)

puisque la fonction 0 est développable en série de Fourier on obtient la formule sommative de poisson suivant :

+ 1 E n=--c

e(-a(u-2n0^2)

X+ 1 = \/ ' 4al2 (_ k271-2 ) i ik7ru \ e 4a1^2 ek / i k=--c

et la forme utilisée dans le calcul mené plus haut en résulte en faisant u = x -- y et a = ¹₄u^pt. Soit V un espace de Hilbert

Definition 1.1.7 Soit A une application linéaire continue de V dans V . On appelle valeur propre de A un réel A E R tel qu'il existe un élément non nul x E V qui vérifie

Ax = Ax.

Un tel vecte3ur x est appelé vecteur propre associé a la valeur propre A.

Theoreme 1.1.1 Soit A une application linéaire continue de V dans V , il existe une unique application linéaire continue A^*de V dans V, dit adjoint , telle que

(Ax, y) = (x, A^*y) Vx.y E V

Definition 1.1.8 Soit A une application linéaire continue de V dans V. On dit que A est autoadjointe si elle coincide avec son adjoint c'est-d-dire que

A* = A

Definition 1.1.9 Oit A une application linéaire continue de V dans V. On dit que A est définie positive si

(Ax; x) > 0 pour tout x E V non nul

Definition 1.1.10 On considere une forme bilinéaire a (., .) symétrique continue et coercive, c'esta-dire que que a (w, v) = a (v, co), et il existe M > 0 et v > 0 tels que

1a (w, v)1 < M IlcIl_i IlvIl_i, pour tout w, I/ E V

et

a (v, v) > v IlvIl²_V pour tout v E V.

nous introduisons nouvel ingrédient, a Nous faisons l'hypothese fondamentale suivante

· (1.4)

₍V C H avec injection compacte V est dense dans H

Injection compacte : veut dire précisément que l'opérateur d'inclusion I qui a v E V associe I v = v E H est continu et compact . Autrement dit, l'hypothese (1.4) implique que tout suite borné de V on peut extraire une sous-suite convergente dans H. Les espace H et V ne partagent pas le méme produit scalaire . Nous considérons le probleme variationel de valeurs propres suivant : trouver A E IR et u E V \ {0} tels que

a (u, v) = A (u, v)_H Vv E V. (1.5)

On dira que est une valeur propre du probleme variationel (1.5) et que u est le vecteur propre associé

Théoreme 1.1.2 Soit V et H deux espace de Hilbert réels de dimension infinie. On suppose que V C H avec injection compact et que V est dence dans H. Soit a (., .) une forme bilinéaire symétrique continue et coercive sur V . Alors les valeur propre de(1.5) forment une suite croissante (Ak)k>i de réels positifs qui tend vers l'infini, et il existe une base hilbertienne de H (uk)_k>i de vecteurs associés, c'est-d-dire que

uk E V, et a (uk; v) = Ak (Uk₎v)₁ V7) E V.

de plus _{(Uk\\/Ak)k>1est} une base hilbertienne de V pour le produit scalaire a (., .)

Théorème 1.1.3 Soit V un espace de Hilbert réel de dimension infinie et A une application linéaire continue, définie positive , auto-adjoint , compact de V dans V Alors les valeurs propres de A forment une suite _(Ak)k>lde réel strictement positive qui tend vers 0, et il existe une base hilbertienne (uk)k>1 de V formée de vecteurs propres de A avec

Auk = Akuk pour k ~ 1

Remarque 1.1.1 La décomposition spectrale de tout élément v 2 V

v = _X+ 1 (v; uk) uk avec kvk² = _X+ 1 jhv; ukij²

k=1 k=1

Théorème 1.1.4 (Fubini) On suppose que F 2 L^1 ( 1 x 2). Alors, pour presque tout x 2 i, fF (x, y) 2 L1 y ( 2) et

F (x,y)dy 2 L1 x ( 1)

~2

De même, pour presque tout y 2 2,

fF (x, y) 2 L1 x ( i) et

F (x,y)dx 2 L1 y ( 2)

~1

De plus on a

_Z fdx fF (x, y) dy = fdy

~1 ~2 ~2 ~1

ffF (x, y) dx =

(1iX12)

F (x,y)dxdy

Théorème 1.1.5 (de Rellich)

Si est un ouvert borné régulier de classe C¹, alors de toute suite bornée de H¹ ( ) on peut extraire

une sous suite convergente dans L² ( ) (on dit que l'injection canonique de H¹ ( ) dans L² ( ) est compacte).