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Etude d'une équation parabolique

( Télécharger le fichier original )
par Somia MAKASSI Khaled ZENNIR et
Université des sciences et de la technologie d'Oran - Licence en mathématiques 2012
  

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3.3 Applications

Nous appliquons maintenant le résultat abstrait du théorème (3.3.1) a l'équation de la chaleur, et nous prouvons que cette approche variationnelle a bien permis de résoudre l'équation aux dérivées partielles d'origine .

Theoreme 3.3.1 Soit a un ouvert borne regulier de RN. Soit un temps final T > 0 , une donnée initiale uo E L2 (a), et un terme source f E L2 (]0, T[ ; L2 (a)). Alors l'equation de la chaleur

u = 0 p.p .sur aa x ]0,T[

u (x; 0 ) = uo (x) p.p .dans a

{

~~~~~~~~

(3.10)

Au = f p.p .dans a x ]0, T[

au at

admet une unique solution u E L2 (]0,T[; H10 (a))nC ([0 , T] ; L2 (a)). De plus, il existe une constante C > 0 (qui ne depend que de a )telle que, pour tout t E [0 , T] ,

Iu (x,t)2 dx +

t
I

0

I1Vu (x, s)12 dxds < C (I uo(x)2 dx + I I f (x, s)2 dxds1. (3.11)

n n

0

12

t

dt dxdt +

Vu Vv 0 dxdt =

f v 0 dxdt . (3.13)

--

T
I

0

I

uv

d0

I

T
I

0

I

T
I

0

Preuve Nous appliquons le théorème (3.3.1) a la formulation variationnelle (3.4) de l'équation de la chaleur (3.10) : ses hypothèses sont facilement vérifiées avec H = L2 (a) et V = H(1- (a) (en particulier, comme a est borné le théorème (1.1.5) de Rellich affirme que l'injection de H dans V est compacte), il reste a montrer que l'unique solution u E L2 (]0, T[;H(1- (a)) n C ([0 , T] ; L2 (a)) de cette formulation variationnelle est bien une solution de (3.10) . Tout d'abord, la condition aux limites de Dirichlet se retrouve par application du théoréme (1.5.8) de trace a u (t) E H(1- (a) pour presque tout t E ]0, T[, et la condition initiale est justifiée par la continuité de u (t)en t = 0(comme

fonction a valeurs dans L2 (a)). Si la solution u est suffisamment régulière (par exemple, si : et Au appartienne par intégration par partie, la formulation variationnelle (3.4) est équivalente a

I

(au

at Au -- f) vdx = 0, (3.12)

pour toute fonction v (x) E H(1- (a) et presque tout temps t E ]0, T[. Par conséquent on déduit de (3.12) que

au
at

Au -- f = 0 p.p. dans ]0, T[ x a.

Si la solution u n'est pas plus régulière que u E L2 (]0, T[; N (a)) n C ([0 , T] ; L2 (a)) , on obtient tout de même cette égalité mais la justification en est légèrement plus délicate. Conformément a la remarque (3.3.2) le sens précis de (3.4) est

Pour toute fonction v (x) E ccl (a) et 0 (t) E C1c (]0, T[) . Un résultat classique d'analyse nous dit que l'ensemble des combinaisons linéaires de produit de telles fonctions v (x) 0 (x) est dense dans C1c (]0, T[ x a) . On note a = (u; --Vu) la fonction a valeur vectorielles dans R N+ldont la divergence en "espace -temps "est : -- Au. L'identité (3.13)nous dit que cette divergence a bien un sens faible et est égale a la fonction f qui appartient a L2 (]0, T[; L2 (a)), d'on l'égalité presque partout dans ]0, T[ x a. Il faut cependant faire attention que nous avons montré que la différence

au
at

-- Au appartient a L2 (]0, T[; L2 (a)) , mais pas chaque terme individuellement .

 

Remarque 3.3.1 l'estimation d'enrgie (3.11) indique que la norme de la solution dans l'espace d'énergie est controlée par la norme des données. Il est a noter que cette norme ne correspond pas toujours a la "vraie"énergie physique (dans le cas de la chaleur l'énergie thermique est proportion-nelle a f u (t, x) dx ). L'inégalité (3.11) été obtenue comme conséquence de (3.6), ce qui camoufle son

~

origine et son interprétation physique. En particulier, ces estimations ou égalités d'énergie justifient le choix de l'espace L2 (]0, T[; 1l0 (a)) n C ([0 , T] ; L2 (a)) pour y chercher des solutions car c'est précisément l'espace d'énergie c'est -á-dire l'espace de régularité minimum dans lequel les égalités ont un sens .

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