Etude d'une équation parabolique

3.2.2 Un resultat general

Pour démontrer l'existence et l'unisité de la solution de la formulation variationnelle(3.4), nous allons pouvoir ainsi "diagonaliser"l'opérateur Laplacien et nous ramener a la résolution d'une famille de simples d'équations

diférentielles ordinaires du premier ordre. On introduit donc deux espaces de Hilbert V et H tels que V C H avec injection dense et compacte. Typiquement on aura V = H¹₀ (a) et H = L² (a) Theoreme 3.2.1 Soient V et H deux espace de Hilbert tels que V C H avec injection compacte

et V est dense dans H. Soit a (u, v) une forme bilineaire symetrique continue et coercive dans V . Soit un temps final T > 0, une donnée initiale u0 E H et un terme source f E L² (]0 , T[; H). Alors le probleme

f ₁ (u(t),v)_H + a(u(t),v) = (f (t),v)_H Vv E V, 0 <t <T ~~~

u (t = 0) = u0,

(3.5)

aK (t) = a^0 e^-AKt +

Zt 0

K (s) e-Ak(t-8)ds pour t > 0,

(oil l'equation de (3.5) a lieu au sens faible dans ]0, T[ ) a une unique solution u E L² (]0 ,T[;V )n C ([0 , T] ; H) . De plus, il existe une constante C > 0 (qui ne depend que de Q) telle que

MuM L²(]0 ,T[;V ) + MuMC([0 ,T];H) C C (Mu⁰MHMfML²(]0 ,T[;H)) . (3.6)

Remarque 3.2.1 l'estimation d'energie (3.6)prouve que la solution de (3.5) depend continument des donnees ,et donc que le probleme parabolique (3.5)est bien pose au sens de Hadamard

Preuve (du théorème 3.2.1)

Cette démonstration est divisée en deux étapes. Dans une première étape, en supposant l'existence d'une solution u, nous obtenons une formule explicite pour u sous la forme d'une série obtenue par décomposition spectrale des espace H et V . En particulier, cette formule prouve l'unicité de la solution. Dans une deuxième étape, nous démontrons que cette série converge dans les espaces L² (]0 , T[;V ) et C ([0 , T] ; H) , et que la somme est bien une solution de (3.5) .

Etape 1. Supposons que u E L² (]0 , T[;V ) n C ([0 , T] ; H) est solution de (3.5). Les hypothèses permettent d'appliquer le théorème(1.1.2) sur la résolution du problème aux valeurs propres associé a la forme bilinéaire symétrique a (u; v). Par conséquent, il existe une base hilbertienne (uK)K>1de H composée de vecteurs propres de (1.5)

uK E V, et a (uK, v) = AK (uK, v)_H Vv E V.

On définit

aK (t) = (u (t) , _uK),, , a0K = (u0, uK) , OK (t) = (f (t) , _uK)H .

Puisque u E L² (]0 , T[;V ) n C ([0 , T] ; H) et f E L² (]0 , T[; H), on en déduit que a_K (t) E C ([0 , T]) et _K (t) E L² (]0 , T[). Comme _(uK)K>1 est une base hilbertienne de H on a

u (t) = _X+ 1 a_K (t) u_K ,

K=1

et choisissant v = uK dans(3.5) on obtient

K

a

_K (t = 0) =

a

0

_{d a

dt K AKaK = K dans ]0, T[

(3.7)

On vérifie immédiatement que l'unique solution de (3.7) est

ce qui donne une formule explicite pour la solution u (qui est donc unique). Etape 2. Nous allons démontrer que la série

X+ 1 J=1

0 @~^0 Je~~Jt +

I J 0

1 (s) eJ(ts)ds A uj , (3.8)

converge dans L² (]0 , T[; V ) n C ([0 , T] ; H) et que sa somme, notée u (t) est solution de (3.5) . Considérons la somme partielle a l'ordre K de cette série

co^" (t) =

XK J=1

0 @a0Je-AJ ^t +

f1^3.1 0

1 (s) ej(ts)ds A uj . (3.9)

Clairement co^" appartient a C ([0 , T] ; H) puisque chaque a (t) est continu. Montrons que la suite co^" est de Cauchy dans C ([0 , T] ; H). Pour tout T > k , en utilisant le caractere orthonormé des fonctions propres , on a

~ ~ ~!~ (t) ~ !^K (t) ~H <

~ II ~ ~ ~ ~

E 9=K+^1

~0 je~~jtuj

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ + ~ ~H ~

E 9=K+^1

Zt 0

~j (s) e^-M^t-8)ds uj

~ ~ ~ ~ ~~.

E ~

9=K+¹

)~~~0 _~~2 _e2jt 3

_{0 0}

2 _X

+ @ @

9=K+¹

1

₁ 21 2

~j (s) _ej(ts)d_{s A A}

~

_Zt
0

1

~

E ~ 9=K+^1

a0 2)^3

0 1 2 -r ^E + @ 9=K+^1

1 2j

ZT 0

1 ~~~j (s) ~~2 ds A

1 2

~

E ~ 9=K+^1

lag 2) 3

1 2

+

1

0 X @9=K+^1

ZT 0

1 ~~~j (s) ~~2 ds A

1 2

·\/2a1

;

puisque la suite des valeurs propres (A) est croissant et strictement positive. Comme uo 2 H et f 2 L² (]0 , T[ ; H) on a

+ 1 =E i=i

~~~0 ~~2 < +1 ; kfk^2 j L^2(]0 ,T[;H) =

X+ 1 i=i

ZT 0

~~~j (s)1^2 ds < +oo,

ce qui entraine que la suite co^k (t) est de Cauchy dans H . Plus précisément, on en déduit que la suite co^K vérifie

lim (sup T ^K 11

= 0,H)

^k;^/-'+^°° 0<t<T

c'est -á-dire qu'elle est de Cauchy dans C ([0 , T] ; H) . Montrons que la suite !^Kest aussi de Cauchy

dans L² (]0 , T[;V ) . On munit V du produit scalaire a (u, v) , Pour r > k on a

k! (t) -- W^k (t)11, = a ^(WT (t) -- WK (t) , W^T (t) -- co^l( (t)) = _X j jj (t)j²

j=K+1

_{0 1}

_Zt

j @ ~j (s) _ej(ts)d_{s A} :0

2

-r -r

< 2 _{Ai c}4² c2Ait + 2

j=K+1 9=K+1

Or, par application de l'inégalité de Cauchy-Schwarz on a

0 Zt

@0

_{1 0}

2 Zt

~j (s) _ej(ts)d_s A ~ @

0

₁ 0 Zt

~_~~j (s) ~~2 _ej(ts)d_{s A} @ _ej(ts)d_s

0

1 Ai

0 @

Zt 0

1 ~_~~j (s) ~~2 _ej(ts)d_{s A} :

Par ailleurs, en vertu du théoreme de Fubini

0

0

T T

_{1 0 1}

_{Z Z}

~_~~_j (s) ~~2 _ej(ts)d_{s A} dt = ~_~~_j (s) ~~2 ej(ts)dt

0 s

@ _A ds

1

~

j

_ZT
0

~_~~j (s) ~~2 ds:

Par conséquent, on déduit que

0

11c.k^r (t) --W^K (t)11,dt <

X j=K+1

~~~0 ~~2 + j

X j=K+1

2 j

ZT 0

P(s)1^2 ds;

ce qui implique que la suite w^Kvérifie

lim krr--Eco

0

~ ~ ~!~ (t) ~ !^K (t) ~2 V dt = 0;

c'est -á-dire qu'elle est de Cauchy dans L² (]0 , T[ ; V ) .

Comme les deux espaces C ([0 , T] ; H) et L² (]0 , T[;V ) sont complets, la suite de Cauchy co^" converge et on peut définir sa limite u

lim krr--Eco

W^K = u dans C ([0 , T]; H) n L^2 (]0, I[; V ) .

En particulier, comme co^" (0) converge vers uo dans H, on en déduit la condition initiale voulue,
u (0) = uo (qui est une égalité entre fonctions de H). D'autre part, il est clair que u (t), en tant

que somme de la série (3.8)vérifie la formulation variationnelle (3.5) pour chaque fonction test v = UK. Comme (_v^u_A^K ) est une base hilbertienne de V , 'a (t) vérifie donc la formulation variationnelle (3.5)pour tout v 2 V ; c'est -á-dire que u (t) est bien la solution recherchée de (3.5) .

Pour obtenir l'estimation d'énergie (3.6) , il suffit de remarquer que l'on a prouvé les majorations

II WT 1 (t) ~ !^K (t)k_H ~ ku0kH + p21 kfkL²(]0 ,T[;H)
·

et

_ZT
0

~ w^T (t) -- w^K (t)11₁, dt < MuollH + 211/112L2a0 _;T [;H): :

1

En prenant k = 0 et en faisant tendre T vers l'infini , on obtient immédiatement l'estimation désirée

.

Remarque 3.2.2 Nous revenons sur le sens de la dérivée en temps dans la formulation variationnelle (3.5) . Au vu des espaces dans lequel nous cherchons la solution u (t), la fonction t --p (t) v)H n'est pas dérivable au sens classique : elle appartient seulement a L² (0 , T) et a C ([0 , 7¹]) . On peut néanmoins définir sa dérivée au sens faible (ou au sens distributions) . Plus précisément , dt (t) , v)_Hest défini comme un élément de H^-1 (0 , T) (c'est -á-dire une forme linéaire continue sur H¹₀ (0 , T) )

par la formule

(dd t (U (t) v)H ^0 (t)) H^-1;H^10 (0 ,T)

=

T Z 0

O (t) , v)H d dt (t) dt V0 2 1^i0 (0 ,T) .

Pa conséquent, dite que l'équation de (3.5)a lieu au sens faible dans ]0, T[ est équivalent a dire

T Z~ 0

d? hu (t) ; viH dt (t) dt +

ZT 0

a (u (t) , v) (t) dt =

ZT 0

(f (t) 0 (t) dt;

pour tout v 2 V et tout 0 2 _c(]0, T[) puisque Cr (]0, T[) est dense dans 1¹₀ (0 , T) . Pour conclure, rassurons le lecteur :si u est une solution de (3.5) , alors, par l'égalité même qu'est (3.5) , la dérivée _dt (U (t) , v)_H appartient a L² (0 , T) et on peut donc dire que (3.5)a lieu presque partout dans ]0, T[.