WOW !! MUCH LOVE ! SO WORLD PEACE !
Fond bitcoin pour l'amélioration du site: 1memzGeKS7CB3ECNkzSn2qHwxU6NZoJ8o
  Dogecoin (tips/pourboires): DCLoo9Dd4qECqpMLurdgGnaoqbftj16Nvp


Home | Publier un mémoire | Une page au hasard

 > 

Etude d'une équation parabolique

( Télécharger le fichier original )
par Somia MAKASSI Khaled ZENNIR et
Université des sciences et de la technologie d'Oran - Licence en mathématiques 2012
  

précédent sommaire suivant

Bitcoin is a swarm of cyber hornets serving the goddess of wisdom, feeding on the fire of truth, exponentially growing ever smarter, faster, and stronger behind a wall of encrypted energy

1.4 Espaces fonctionnelle

1.4.1 Les espaces Lp

On donne ici quelques définitions et propriétés élémentaires.

Définition 1.4.1 Soit un ouvert de 1n et 1 < P < oc, on définit L (~) un espace de Lebesgue par:

LP (~) =

8

<

:

ff : ~ ~! 1n, f est mesurable et

~

jf (x) P dx < 1

9

=

;

: (1.13)

pour P = 1 et 0 < P < 1 , on définit f par:

0 j
Mf M = @jf (x) P dx

~

1
P

:

(1.14)

Si P = oc, nous avons :

L°° (~) = (f : ~ ~! 1, f

)

est mesurable, il existe une constante C telle que jf (x)j ~ C p.p sur l

:

On note

kfk°° = inf {c, jf (x)j ~ c}

Théorème 1.4.1 (Inégalité de Holder).

Soit f 2 L" (~) et g 2 L" (~) avec 1 P 1 ,alors f g 2 L1 (~) et

I jf gj ~ Mf M MgMq :

Corollaire 1.4.1 (Inégalité de Schwartz)

Soit f et g deux fonctions mesurable de X dans [0, +oo] . Alors :

I If gl Vf2 Vg2

Théorème 1.4.2 (Inégalité de Minkowski)

Soit pE 11, +o[, et soient f et g des fonction mesurables de x dans [0, +oo] . Alors :

I ((f + 03)' < (I fP)

1
P

#177; (IgP)

1
P

Théorème 1.4.3 (Ficher-Riesz)

LP est un espace de Banach pour tout 1 < p < 1

Théorème 1.4.4 LP est un espace vectoriel et 11.16 et une norme pour tout 1 < p < 00.

=

1
p

+

1
q

-- 1 > 0. Alors

Théorème 1.4.5 (Inégalité de Young)

Soient f 2 LP (118) et g 2 Lq (118) avec 1 < p < 1 ,1 < q < 1 et 1

f *g 2 Lr (118) et 1f *gh,r(R) Mf IILP(R) Iglyi(R) .

Lemme 1.4.1 (de Gronwall)

Soient :

0 une fonction 2 L°° (0, T ), 0 (t) > 0, p.p,t 2 [0, T ]. ,u une fonction 2 L1 (0, T ) , ,u(t) > 0, p.p, t 2 [0, T ]. On suppose

0 (t) <

t

I

0

,u (s) 0 (s) ds + C, p.p.t 2 [0, T ] . (C = constante) .

Alors

t

0 (t) < C exp (I,u (s) ds) , p.p. t 2 [0, T ] .

0

On désigne par (f, g) le produit scalaire dans L2 (a), i.e.

(f,g) =I

f (x) g (x) dx,

et également le produit de dualité entre f 2 D'(1) (espace des distributions sur a) et g 2 D(1) (espace des fonctions C 'sur a et a support compact dans a).

Théorème 1.4.6 LP (Q) est un espace de Banach muni de la norme 11.11p, pour tout 1 < P < 1

.

1.4.2 Espaces de Sobolev

On introduit l'espace H m (a) comme étant l'espace des fonctions v 2 L2 (a) dont toutes les dérivées partielles d'ordre inférieure ou égale m -prises au sens des distributions sont dans L2 (a). Ces espaces jouent dans analyse des équations aux dérivées partielles un role fondamental.

Les espaces de Sobolev d'ordre m : [ H m (a)]

Définition 1.4.2 Soit a est un ouvert non vide de Rn, et m 2 N. On appelle espace de sobolev d'ordre m sur a l'espace

Hm (a) =

8

<>

>:

u 2 L2(a) : Dau 2 L2(a)

#

calcules au sens des distributions

,Va 2 Nn; ja < m

9

>=

;>

Remarque 1.4.1 Pour m = 1,

H1 (a) =

8

<>>>

>>>:

@u

u 2 L2(a) : 2 L2(a)

@xi

#

calcules au sens des distributions

,1 i ~ m

9

>>>=

;>> >

et la norme associée a ce produit scalaire

0 1

f

@

kuMH m(~) = Dau (x)j2 dx A

jaj<mf

1

2

0 1

@ X

= MDauM2 A

2

jj~m

1

2

: (1.15)

Définition 1.4.3 On introduit ensuite :

H1 0(a) = adhérence de D(a) dans H 1 (a)

= sous-espace deH 1 (a) des fonction "nulles" sur [1 = @a: (1.16)

Théorème 1.4.7 (Formule de Green) pour tout u 2 H 2 (a) , v 2 H 1 (a) on a

f-

ZLuv dx =

~

ZVu Vv dx -

~

@u v dO (1.17)

@~

@u

ot @~

est la dérivée normale de u a 11' dirigée vers l'extérieur .

Theoreme 1.4.8 (de trace)

Soit Q un ouvert borné régulier de classe C1, ou bien Q = 11:k. On définit l'application trace 7o :

H1 (Q) n C (Q) -p L2 (0Q) n C (0Q) v --> 70 (v) = v Ian .

Cette applicatipon 7o se prolonge par continiuité en une application linéaire continue de H1 (Q) dansL2 (0Q) , notée encore 70. En particulier, il existe une constante C > 0 telle que, pour toute fonction v 2 H1 (Q), on a

IlvIlL2(an) C C IvIH1(n)

Theoreme 1.4.9 Si Q est une ouvert borné régulier de classe C", ou bien si Q = 118_1`FT, alors Cr (Q) est dense dans Hm (Q)

Theoreme 1.4.10 Si Q est un ouvert régulier de classe C1, et si m > N2 , alors Hm (Q) est un sousespace de l'ensemble C (Q) des fonction continues sur Q.

précédent sommaire suivant






Bitcoin is a swarm of cyber hornets serving the goddess of wisdom, feeding on the fire of truth, exponentially growing ever smarter, faster, and stronger behind a wall of encrypted energy








"Piètre disciple, qui ne surpasse pas son maitre !"   Léonard de Vinci