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Contribution à  l'optimisation complexe par des techniques de swarm intelligence

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par Lamia Benameur
Université Mohamed V Agdal Rabat Maroc - Ingénieur spécialité : informatique et télécommunications 0000
  

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3.6 Etude expérimentale

Plusieurs fonctions tests ont été utilisées pour valider les performances du modèle proposé. Ces fonctions ont plusieurs caractéristiques, qui les rendent idéales pour tester la capacité de l'approche proposée à identifier différents optima dans un domaine multimodal. Sachant que la localisation de chaque optimum, dans l'espace de recherche, est connue a priori, il est facile de comparer la distribution de la population à la convergence à la distribution idéale des optima théoriques. Il faut noter que durant la procédure de classification floue, les objets sont représentés par les particules de l'essaim et par leur fitness.

2186 -- (x2 + y -- 11)2 -- (x + y2 -- 7)2 F6(x, y) = 2186

1

F7(x, y) = 500

v-.24 1

+ 2_,

0.002 i=0 1+i+(x-a(i))6+(y-b(i))6

a(i) = 16[(i mod 5) -- 2] et b(i) = 16(Li/5] -- 2)

;

F8(x) =

Xn
i
=1

(x2i -- 10 cos(2ðxi) + 10)

Pour pouvoir comparer les performances du modèle propose à d'autres modèles, trois critères sont utilises. Ces critères incluent :

- Le rapport maximum de pics détectés (Maximum Peaks Ratio : MPR) : determine le nombre et la qualite des optima. Il est defini par la somme des optima identifies divisee par la somme des optima reels.

PC

MP R = Pq i=1 f(i) (3.12)

k=1 f(k)

Oil f(i) est la fonction "fitness" d'un optimum i, C represente le nombre de classes identifiees dont le centre represente l'optimum i. f(k) etant la fitness de l'optimum reel k, et q le nombre de ces optima.

- Le nombre effectif des pics maintenus (NPM) : represente la capacite d'une technique à localiser et maintenir des individus au niveau des pics pour une duree determinee.

Le nombre effectif d'évaluations de "fitness" (Number of Fitness Evaluations : NFE) : designe le nombre d'evaluations requis pour la convergence de l'algorithme. Dans cette etude, l'algorithme converge lorsque la valeur d'entropie est inferieure à 10-3.

3.6.1 Fonctions tests

Dans cette section, les differentes fonctions tests utilisees pour illustrer les performances du modèle propose sont presentees.

F1(x) = sin6(5ðx)

2100)(x(108.1

F2(x) = exp- sin6(5ðx)

F3(x) = sin6(5ð(x34 -- 0.05))

2 log(2) ( xai0482 ) sin6 (57(x

F4(x) = exp- 4 -- 0.05))

F5(x) =

?

???????? ?

?????????

x + 1 si 0 < x < 1

0.4(x -- 1) si 1 < x < 2

0.24x -- 0.08 si 2 < x < 3

0.24x + 1.36 si 3 < x < 4

0.4x + 2 si 4 < x < 5

x -- 5 si 5 < x < 6

La fonction F1 admet 5 maxima uniformément espacés ayant une même valeur 1, la fonction F2 admet cinq pics de hauteurs différentes dans l'intervalle [0,1]. Les pics sont localisés approximativement aux valeurs de x : 0.1, 0.3, 0.5, 0.7 et 0.9. Les maxima sont respectivement 1.0, 0.917, 0.707, 0.459 et 0.250. La fonction F3 a cinq pics de hauteurs identiques (= 1). La fonction F4 admet cinq pics de hauteurs différentes dans l'intervalle [0, 1]. Les pics sont localisés approximativement aux valeurs de x : 0.08, 0.247, 0.451, 0.681 et 0.934. Les maxima sont respectivement 1.0, 0.948, 0.770, 0.503 et 0.250. F5 a deux maxima globaux de hauteurs 1, aussi bien qu'un maximum local localisé en x = 3 et dont la valeur est 0.64. La fonction modifiée d'Himmelblau F6 est une fonction bidimensionnelle, les variables (x et y) sont définies dans l'intervalle [-6,6]. La fonction modifiée de Himmelblau F6 contient quatre pics de hauteurs identiques (= 1) localisés approximativement en (3.58, - 1.86), (3.0, 2.0), (- 2.815, -3.125) et (- 3.78, 3.28). F7 (Shekel's Foxholes) est une fonction bidimensionnelle ayant 25 pics, oil les variables (x et y) [- 65.536, 65.536]. Les maxima de F7 sont situés en (x, y) dont les coordonnées sont (16i, 16j) oil i et j représentent tous les nombres entiers compris dans [- 2, 2], les 25 optima ont tous différentes valeurs, s'étendant de 476.191 à 499.002, l'optimum global est localisé en (- 32, 32). Enfin, la fonction de Rastrigin F8, oil --5.12 xi 5.12, i = 1, . . . , 30, a un seul minimum global ((0, 0) pour une dimension= 2), et plusieurs minima locaux. F8 avec des dimensions (de 2 à 6) est utilisée pour tester la capacité de l'approche proposée.

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