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Contribution à  l'optimisation complexe par des techniques de swarm intelligence

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par Lamia Benameur
Université Mohamed V Agdal Rabat Maroc - Ingénieur spécialité : informatique et télécommunications 0000
  

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3.6.2 Résultats numériques

Les paramètres u et u, utilisés dans l'équation de la mise à jour du vecteur vitesse (équation (1.1)), sont initialisés à 1.02 pour toutes les fonctions tests, ô(t) varie linéairement de 0.7 à 0.2 pendant les différentes itérations. Le modèle est appliqué à un essaim de 80 particules pour les fonctions F1, F2, F3, F4 et F5. Pour la fonction F6, la taille de l'essaim est 100. Des différentes tailles de l'essaim sont testées pour détecter les optimums de la fonction F7 et les meilleurs résultats sont trouvés pour un essaim de 400 particules.

Fonction F1

Le modèle converge à la quatrième itération. Le tableau (3.1) représente l'évolution de l'entropie h et le nombre de classes détectées (C) à la première itération pour différents seuils de similarité. La meilleure partition correspond à la plus petite valeur de l'entropie.

Comme le montre le tableau (3.1), la valeur 50.6% de similarité fournit la meilleur partition (C = 5) qui correspond à la plus petite valeur d'entropie (h = 4.11E --02).

Le tableau (3.2) montre l'évolution des optima détectés, il faut noter que les centres des classes sont définis par leurs coordonnés et leurs fitness, C représente le nombre de classes identifiées.

TAB. 3.1 - Evolution de la valeur d'entropie et du nombre de classes pour les différentes valeurs de similarité

Smin(%)

C

h

31.6

2

0.417

40.6

3

0.392

50.6

5

4.11E-02

57.6

6

6.67E-02

60.6

7

4.14E-02

64.6

8

6.03E-02

67.6

10

0.138

TAB. 3.2 - Evolution de la valeur d'entropie, des centres et des rayons de classes de la fonction F1.

1erCycle(C = 5)

2èmeCycle(C = 5)

3èmeCycle(C = 5)

4èmeCycle(C = 5)

Centre Rayon

Centre

Rayon

Centre

Rayon

Centre

Rayon

(0.097, 0.917)

0.037

(0.101,0.985)

0.009

(0.1, 0.999)

0.0016

(0.1,1)

0

(0.301,0.961)

0.038

(0.299,0.989)

0.016

(0.3, 0.998)

0.004

(0.3,1)

0

(0.501,0.982)

0.010

(0.500,0.999)

0.002

(0.5,1)

0

(0.5,1)

0

(0.697, 0.955)

0.073

(0.699, 0.94)

0.019

(0.7, 0.997)

0.005

(0.7,1)

0

(0.899,0.953)

0.027

(0.899,0.992)

0.006

(0.9,0.999)

0.003

(0.9,1)

0

h

0.041

 

0.010

 

0.002

 

3E-06

MRP

0.954

 

0.981

 

0.999

 

1

L'analyse de ces résultats montre que les cinq classes détectées, au premier cycle, ne sont pas chevauchée et chaque classe contient un seul optimum. Même si les cinq optima ont été trouvés au premier cycle, les cycles suivants du processus permettent un ajustement local fin de ces optima, cet effet tend évidemment à améliorer la qualité des solutions. Ceci est confirmé par la valeur de MRP, qui vaut 0.954 au premier cycle et 1 au dernier.

La figure (3.4) représente la distribution des particules dans l'espace de recherche durant chaque cycle du processus d'évolution.

Fonction F2

Les résultats de simulation obtenus sont présentés dans le tableau (3.3).

TAB. 3.3 - Evolution de la valeur d'entropie, des centres et des rayons de classes de la fonction F2.

1erCycle(C = 6)

2èmeCycle(C = 5)

3èmeCycle(C = 5)

4èmeCycle(C = 5)

Centre

Rayon

Centre

Rayon

Centre

Rayon

Centre

Rayon

(0.144,0.122)

0.009

(0.104,0.939)

0.028

(0.101,0.988)

0.008

(0.1,1)

0

(0.298,0.889)

0.019

(0.298,0.913)

0.006

(0.299,0.916)

0.002

(0.3,0.917)

0

(0.499,0.678)

0.054

(0.499,0.691)

0.014

(0.499,0.707)

0.003

(0.5,0.707)

0

(0.698,0.440)

0.031

(0.698,0.457)

0.006

(0.698,0.459)

0.002

(0.7,0.459)

0

(0.962,0.942)

0.067

(0.897,0.251)

0.002

(0.9,0.25)

0

(0.9,0.250)

0

(0.897,0.241)

0.013

-

 

-

 

-

 

h

0.076

 

0.014

 

2.7 E-06

 

1E-05

L'analyse des classes et des rayons montre que la cinquième et la dernière classe sont chevauchées, et toutes les deux contient le même optimum au point x = 0.9.

FIG. 3.4 - Placement des individus dans l'espace de recherche durant l'évolution de MPSO pour la fonction F1

Ces deux classes se recouvrent et forment une classe unique à l'itération suivante. A ce stade, même si les cinq optima sont déjà identifiés, la valeur d'entropie continue à diminuer, l'algorithme converge au quatrième cycle (h = 1E - 05). Dans ce cas, toutes les particules de même sous-essaim sont identiques et ont la même fitness (figure 3.5), ce qui correspond à un rayon de classe égal à zéro.

Fonction F3

Pour cette fonction, l'algorithme converge à la troisième itération et tous les optima sont localisés. La valeur d'entropie à la convergence du processus est égale à 6.9E - 04.

La distribution des particules dans l'espace de recherche durant chaque cycle du processus d'évolution est représentée dans la figure (3.6).

A la première itération, les particules sont aléatoirement placées dans l'espace de recherche. Ces particules se regroupent progressivement autour du plus proche pic. A la convergence de l'algorithme, toutes les particules de même sous-essaim sont identiques et ont la même fitness.

FIG. 3.5 - Distribution des individus dans l'espace de recherche durant l'évolution de MPSO pour la fonction F2

FIG. 3.6 Placement des individus dans l'espace de recherche durant l'évolution de MPSO pour la fonction F3

Fonction F4

Le processus converge à la quatrième itération quand la valeur d'entropie est égale à 9.82E - 04. La figure (3.7) représente la distribution des particules dans l'espace de recherche durant l'évolution de MPSO pour la fonction F4.

FIG. 3.7 - Placement des individus dans l'espace de recherche durant l'évolution de MPSO pour la fonction F4

Fonction F5

La figure (3.8) représente la distribution des particules dans l'espace de recherche durant les différentes itérations. A la première itération, la valeur d'entropie est proche de 0.13E - 01, quand l'algorithme converge, l'entropie prend une valeur plus petite que 2E - 04.

FIG. 3.8 - Placement des individus dans l'espace de recherche durant l'évolution de MPSO pour la fonction F5

Fonction d'Himmelblau F6

Les résultats obtenus sont récapitulés dans le tableau (3.4). On peut noter que le centre de chaque classe détectée est décrit par ses coordonnées (x, y).

L'analyse de ces résultats montre que, dans la première itération, les quatre classes identifiées ne se chevauchent pas et que la valeur de l'entropie est relativement grande. Dans la dernière itération, les optima identifiés sont proche des optima réel (entropie = 1E - 04). Ceci est confirmé également en suivant l'évolution de la distribution des particules dans l'espace de recherche au cours des différents cycles (figure 3.9).

TAB. 3.4 Evolution de la valeur d'entropie, des centres et des rayons de classes de la fonction F6.

1erCycle(C = 6)

2èmeCycle(C = 5)

3èmeCycle(C = 5)

4èmeCycle(C = 5)

Centre

Rayon

Centre

Rayon

Centre

Rayon

Centre

Rayon

(2.50,2.49)

(2.25,1.62)

(3.03, 1.95)

(0.59,0.07)

(3.02,1.99)

(0.16, 0.01)

(3.0, 2.00)

(0.04, 0)

(3.52,-1.91)

(2.28,0.56)

(3.64,-1.84)

(0.31,0.01)

(3.58,-1.80)

(0.08, 0.00)

(3.58, -1.80)

(0, 0)

(-3.42,-2.53)

(3.33,0.69)

(-3.77,-3.11)

(0.62,0.07)

(-3.78,-3.19)

(0.12,0.01)

(-3.77,-3.28)

(0, 0)

(-2.39,3.00)

(1.98,2.67)

(-2.79, 3.17)

(0.22,1.05)

(-2.81,3.12)

(0.02, 0.23)

(-2.8, 3.10)

(0, 0.02)

h

0.387

 

0.05

 

6.2E-03

 

1E-04

FIG. 3.9 - Placement des individus au cours les différents cycles du processus d'évolution pour la fonction F6

Fonction de Shekel F7

Le tableau (3.5) représente les résultats obtenus durant l'évolution du processus.

TAB. 3.5 - Evolution de la valeur d'entropie de la fonction F7.

 

1er cycle

C = 38

2ème cycle
C = 35

3ème cycle
C = 29

4ème cycle
C = 26

5ème cycle
C = 25

6ème cycle
C = 25

h

0.436

0.177

0.01

6.2E-03

2.3E-03

1.12E-05

L'analyse de ces résultats montre que 38 classes ont été détectées à la première itération, ces classes sont chevauchées et la valeur de l'entropie est relativement élevée. Au cours de la deuxième itération, 35 classes sont détectées et l'entropie continue à décroître. A partir de cinquième itération, les 25 optima sont localisés.

L'évolution des populations, durant chaque cycle du processus, est illustrée par la figure (3.10). Au premier cycle, les particules sont aléatoirement distribuées dans l'espace de recherche, durant l'évolution du processus, les particules du sous-essaim sont progressivement groupées autour de plus grand pic de la fonction F7 (figure 3.11).

FIG. 3.10 - Placement des individus au cours les différents cycles du processus d'évolution pour la fonction F7

FIG. 3.11 Représentation 3-D de la distribution finale des individus dans l'espace de recherche de la fonction F7

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