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Contribution à  l'optimisation complexe par des techniques de swarm intelligence

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par Lamia Benameur
Université Mohamed V Agdal Rabat Maroc - Ingénieur spécialité : informatique et télécommunications 0000
  

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4.7 Etude expérimentale

Plusieurs fonctions tests ont été utilisées pour valider les performances du modèle proposé. Ces fonctions ont plusieurs caractéristiques qui les rendent idéales pour tester la capacité de l'approche proposée à identifier la frontière optimale de Pareto. Il faut noter que ce sont les fonctions de benchmark les plus utilisées dans la littérature.

Pour pouvoir comparer les performances du modèle proposé avec d'autres modèles, deux critères sont utilisés. Ces critères incluent :

La distance générationnelle (Generational Distance GD) : Cette métrique a été proposée par Deb et Jain [Deb et Jain, 2002] pour mesurer la distance entre les éléments de l'ensemble des solutions non-dominées trouvées et les éléments de l'ensemble Pareto optimal.

IPn i=1 d2 i

GD = m

(4.12)

oil m est le nombre des éléments de l'ensemble des solutions non-dominées trouvées et di est la distance euclidienne (mesurée dans l'espace des objectifs) entre chacune de ces solutions et le plus proche élément de l'ensemble Pareto optimal.

L'espacement (Spacing :SP) : On désire par SP mesurer la distribution des solutions trouvées. Puisque le début et la fin de front de Pareto sont connus, une métrique convenable peut montrer si les solutions sont bien réparties sur le front de Pareto trouvé. Schott [Schott, 1995] a proposé une telle métrique

qui mesure la variance de distance entre les solutions voisines de l'ensemble des solutions non-dominées trouvée. Cette métrique est définie par :

SP =

tu u v

1

Xn
i
=1

( d - di)2 (4.13)

n - 1

di est défini comme suit :

di = min

j

XM
m
=1

|fi m(x) - fj m(x)|, i,j = 1,...,n,

oil d est la moyenne de tous les di, M est le nombre d'objectifs et n est le nombre de solutions non-dominées trouvées. La valeur zéro de cette métrique indique que tous les membres du front de Pareto trouvé sont tous espacés de la même distance.

4.7.1 Problèmes tests

Pour valider un algorithme, nous avons besoin d'un ensemble de fonctions tests. Cet ensemble doit être soigneusement choisi de façon à mettre à l'épreuve l'efficacité des méthodes étudiées dans diverses situations difficiles. En effet, un "bon" test doit être tel que :

1. il représente un danger particulier pour la convergence ou pour la diversité;

2. la forme et la position de la surface de Pareto soient connues et les valeurs des variables de décisions correspondantes soient faciles à trouver.

Dans la suite, nous utilisons le générateur de tests de Deb [Deb, 1999]. L'idée consiste à construire des tests à M objectifs, pour M = 2. Nous commençons par partitionner le vecteur des variables de décision en M groupes.

x = (x1, x2,··· , xM)

Ensuite, à partir de M -1 fonctions f1,··· , fM-1, d'une fonction g positive et d'une fonction h à M variables, on construit la fonction fM par :

fM(x) = g(xM)h(f1(x1),··· , fM-1(xM-1), g(xM))

avec xm ? Rm pour in = 1, · · · , M - 1. Enfin, le problème d'optimisation est défini par:

minimiser fm(xm)m=1,··· ,M-1, fM(x)

La surface optimale correspond ici aux solutions sur lesquelles la fonction g atteint son minimum e elle est donc décrite comme :

fM = g*h(f1, · · · , fM-1, g*)
Dans les paragraphes qui suivent nous présentons quatre fonction tests bi-objectif

ZDT1, ZDT2, ZDT3, ZDT6 et une à quatre objectif DTLZ7 que nous utilisons pour valider l'approche proposée. Notre choix s'est fixé sur ces fonctions tests car elles ont servi comme une base commune pour la comparaison des algorithmes evolutionnaires multi-Objectifs existants et pour l'évaluation des nouvelles techniques.

Fonction ZDT1

La fonction ZDT1 est la plus simple de cette ensemble, le front de Pareto correspondant étant continu, convexe et avec la distribution uniforme des solutions le long du front.

ZDT1 :

? ??

??

f1(x) = x1

g(x2) = 1 + 9_1 E7

n =2 xi (4.14)

h(f1, g) = 1 - V 91

oil xi ? [0, 1] pour tout i = 1, · · · , n et n = 30. Fonction ZDT2

La difficulté de cette fonction se présente dans la non-convexité du front de Pareto.

ZDT2 :

? ?

?

f1(x) = x1

Pn

g(x2) = 1 + 9 i=2 xi

n_1

h(f1, g) = 1 - (f g )2

(4.15)

oil xi ? [0, 1] pour tout i = 1, · · · , n et n = 30.

Fonction ZDT3

La difficulté de cette fonction réside dans la discontinuité du front de Pareto.

ZDT3 :

? ??

??

f1(x) = x1

g(x2) = 1 + 9_1E7

n =2 xi (4.16)

h(f1, g) = 1 - 91 - (f g )sin(10ðf1)

oil xi ? [0, 1] pour tout i = 1, · · · , n et n = 30. Fonction ZDT6

La particularité de ce problème est que les solutions optimales ne sont pas uniformément distribuées le long du front de Pareto. Cet effet est due à la non-linéarité de la fonction f1.

ZDT6 :

? ?

?

f1(x) = 1 - exp(-4x1) sin6(4ðx1) g(x2) = 1 + 9(E7=2 nx21)1/4

h(f1, g) = 1 - (f g)2

(4.17)

oil xi ? [0, 1], pour tout i = 1, · · · , n et n = 10.

Fonction DTLZ7

Dans cette étude, nous utilisons une fonction DTLZ7 à 4 objectifs, le front de Pareto de cette fonction est discontinu et formé de 8 régions séparées dans l'espace de recherche,

DTLZ7 :

? ?????

?????

f1(x1) = x1
f2(x2) = x2

f3(x3) = x3 Pn

g(x4) = 1 + 9 i=4 xi

h(f1, f2, f3, g) = 4 - I23

|x4|

i=1[fi 1+g(1 + sin(3ðfi))]

(4.18)

oil xi ? [0, 1] pour tout i = 1,··· , m et m = 23.

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