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Contribution à  l'optimisation complexe par des techniques de swarm intelligence


par Lamia Benameur
Université Mohamed V Agdal Rabat Maroc - Ingénieur spécialité : informatique et télécommunications 0000
  

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4.7.2 Résultats numériques

Les paramètres u et u, utilisés dans l'équation de la mise à jour du vecteur vitesse (équation 1.1), sont initialisés à 1.5 et 2.5 respectivement pour toutes les fonctions tests, la valeur de facteur d'inertie r(t) se réduit pendant le processus [Venter et Sobieski, 2004] selon l'équation (4.19)

r(t + 1) = r(t)cô (4.19)

cô est une constante entre 0 et 1, la valeur de cô utilisée est 0.975, r est intialisé à 1.4 et la taille de l'essaim est 200.

La figure (4.9) représente les fronts de Pareto des quatre fonctions tests ZDT1, ZDT2, ZDT3 et ZDT6 trouvés en utilisant l'algorithme FC-MOPSO. Il est clair que l'algorithme proposé peut produire presque un front de Pareto uniforme et complet pour chaque fonction.

4.7.3 Comparaisons avec d'autres techniques

Dans cette section, la comparaison entre les résultats obtenus par le modèle proposé FC-MOPSO et les techniques : interactive multi-swarm PSO [Wang et Yang, 2008], MOPSO [Coello et al, 2004] et MOPSO-CD [Raquel et Naval, 2005].

Le tabeau (4.1) représente la valeur moyenne et l'écart type des valeurs de GD concernant le modèle FC-MOPSO et les techniques : interactive multi-swarm PSO, MOPSO et MOPSO-CD.

D'après le tableau (4.1), La valeur de GD indique que l'algorithme proposé a obtenue la meilleure convergence pour toutes les fonctions par rapport aux algorithmes multi-swarm, MOPSO et MOPSO-CD. Ceci est confirmé par le paramètre GD, qui est égal à 3.6E -05 (fonction ZDT1) pour l'algorithme FC-MOPSO et égal à 8.4E - 05, 2.5E - 02 et 1.0E - 02 pour l'interactive multiswarm PSO, MOPSO et MOPSO-CD respectivement. La même analyse peut être faite pour les fonctions ZDT2, ZDT3 et ZDT6.

(a) ZDT1 (b) ZDT2

(c) ZDT3 (d) ZDT6

FIG. 4.9 - Le front de Pareto final généré par l'algorithme FC-MOPSO.

TAB. 4.1 - La moyenne et l'ecart type de la valeur de GD

Algorithme

ZDT1

ZDT2

ZDT3

ZDT6

DTLZ7

 

Moyenne

 
 
 
 

FC-MOPSO

3.6E-05

9.3E-08

4.5E-06

5.7E-08

8.7E-03

Interactive multiswarm PSO

8.4E-05

1.1E-07

8.2E-06

1.1E-07

1.2E-02

MOPSO

2.5E-02

4.0E-03

7.3E-03

6.9E-03

1.8E-02

MOPSO-CD

1.0E-02

1.1E-02

1.3E-02

2.8E-02

1.9E-02

 

Ecart type

 
 
 
 

FC-MOPSO

1.88E-04

3.5E-07

8.4E-06

2.9E-07

1.2E-04

Interactive multiswarm PSO

2.6E-04

4.6E-07

2.2E-05

4.2E-07

3.2E-04

MOPSO

2.3E-03

6.0E-07

4.8E-04

1.0E-02

8.4E-02

MOPSO-CD

3.4E-03

4.9E-05

1.5E-04

1.5E-03

8.5E-04

Puisque le front de Pareto de DTLZ7 est l'intersection de la droite avec l'hyperplan, la convergence est difficile. Cependant, FC-PSOMO arrive à améliorer la valeur de GD par rapport aux autres algorithmes.

Le tableau (4.2) représente la moyenne et l'écart type des valeurs de SP pour les quatre MOPSO algorithmes appliqués aux cinq fonctions tests. La valeur de SP montre que les solutions générées par l'algorithme proposé sont mieux distribuée que celles obtenues par les autres trois algorithmes pour toutes les fonctions tests.

TAB. 4.2 - La moyenne et l'écart type de la valeur de SP

Algorithme

ZDT1

ZDT2

ZDT3

ZDT6

DTLZ7

 

Moyenne

 
 
 
 

FC-MOPSO

3.4E-04

8.7E-05

6.3E-04

1.19E-04

1.1E-02

Interactive multiswarm PSO

3.2E-03

3.8E-04

4.2E-03

8.8E-04

1.3E-02

MOPSO

1.1E-02

1.0E-02

2.3E-02

2.4E-03

8.4E-02

MOPSO-CD

1.6E-02

1.0E-02

1.6E-02

2.8E-03

4.8E-02

 

Ecart type

 
 
 
 

FC-MOPSO

6.5E-03

2.56E-04

2.3E-03

7.3E-04

1.4E-04

Interactive multiswarm PSO

7.3E-03

3.4E-04

1.4E-03

5.7E-04

1.9E-02

MOPSO

6.8E-03

8.4E-03

4.8E-04

9.5E-04

2.8E-02

MOPSO-CD

3.3E-03

3.4E-03

4.3E-03

5.7E-04

6.3E-02

Puisque le front de Pareto de ZDT3 n'est pas uniformément distribué, cette fonction peut être utilisée pour étudier la capacité de l'algorithme à maintenir une bonne distribution de solution. D'après les résultats obtenus pour la fonction ZDT3, on peut conclure que la distribution des solutions est améliorée par l'utilisation de FCMOPSO. En fait, la vaeur de SP est égal à 6.3E -04 pour le modèle FC-MOPSO et égal à 4.2E-03, 2.3E-02 et 1.6E-02 pour interactive multi-swarm PSO, MOPSO et MOPSO-CD respectivement. La même analyse peut être faite pour les fonctions ZDT1, ZDT2, ZDT6 et DTLZ7.

Les résultats de simulation montre que l'algorithme proposé accompli les meilleurs performances par rapport aux autres méthodes en terme de la qualité des solutions trouvées, prouvée par les valeurs de GD et de SP.

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